ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66258
Темы:    [ Четырехугольники (прочее) ]
[ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ]
[ Биссектриса угла (ГМТ) ]
[ Углы между биссектрисами ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Диагонали четырёхугольника ABCD равны и пересекаются в точке O. Серединные перпендикуляры к сторонам AB и CD пересекаются в точке P, а серединные перпендикуляры к сторонам BC и AD – в точке Q. Найдите угол POQ.


Решение

  Так как  PA = PB  и  PC = PD,  треугольники PAC и PBD равны по трём сторонам (см. рис.). Следовательно, точка P равноудалена от прямых AC и BD, то есть лежит на биссектрисе одного из образованных этими прямыми углов. Аналогично точка Q лежит на биссектрисе одного из этих углов.
  Докажем, что эти точки лежат на разных биссектрисах. Биссектриса угла AOB пересекает серединный перпендикуляр к AB в середине дуги AB описанной окружности треугольника AOB. Эта же биссектриса пересекает серединный перпендикуляр к CD в середине дуги CD описанной окружности треугольника COD. Эти точки лежат по разные стороны от O, значит, P лежит на биссектрисе угла AOD. Аналогично Q лежит на биссектрисе угла AOB. А эти биссектрисы перпендикулярны.


Ответ

90°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2016
класс
Класс 8
задача
Номер 8.7

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .