|
|
 |
Условие
Диагонали четырёхугольника ABCD равны и пересекаются в точке O. Серединные перпендикуляры к сторонам AB и CD пересекаются в точке P, а серединные перпендикуляры к сторонам BC и AD – в точке Q. Найдите угол POQ.
Решение
Так как PA = PB и PC = PD, треугольники PAC и PBD равны по трём сторонам (см. рис.). Следовательно, точка P равноудалена от прямых AC и BD, то есть лежит на биссектрисе одного из образованных этими прямыми углов. Аналогично точка Q лежит на биссектрисе одного из этих углов.
Докажем, что эти точки лежат на разных биссектрисах. Биссектриса угла AOB пересекает серединный перпендикуляр к AB в середине дуги AB описанной окружности треугольника AOB. Эта же биссектриса пересекает серединный перпендикуляр к CD в середине дуги CD описанной окружности треугольника COD. Эти точки лежат по разные стороны от O, значит, P лежит на биссектрисе угла AOD. Аналогично Q лежит на биссектрисе угла AOB. А эти биссектрисы перпендикулярны.
Ответ
90°.
