Задача 66268

Темы:    [ Пересекающиеся окружности ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Радикальная ось ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Ясинский В.

Прямая, параллельная стороне BC треугольника ABC, пересекает стороны AB и AC в точках P и Q соответственно. Внутри треугольника APQ взята точка M. Отрезки MB и MC пересекают отрезок PQ в точках E и F соответственно. Пусть N – вторая точка пересечения описанных окружностей ω₁ и ω₂ треугольников PMF и QME. Докажите, что точки A, M и N лежат на одной прямой.

Решение 1

Обозначим через P' и Q' вторые точки пересечения окружности ω₁ с AB и окружности ω₂ с AC. Тогда  ∠MP'A = ∠MFP = ∠MCB,  то есть точка P' лежит на описанной окружности Ω треугольника BMC. Аналогично Q' лежит на Ω (см. рис.). Значит,  AP' : AQ' = AC : AB = AQ : AP,  то есть степени точки A относительно ω₁ и ω₂ равны. Следовательно, A лежит на радикальной оси MN этих окружностей.

Решение 2

Пусть AM пересекает PQ в точке K, а BC – в точке L. Тогда  EK : FK = BL : CL = PK : QK.  Следовательно,  PK·FK = QK·EK  и окружности ω₁ и ω₂ пересекают AM в одной и той же точке.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2016
класс
Класс	10
задача
Номер	10.1