Задача 66269

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вневписанные окружности ] [ Признаки подобия ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Кожевников П.А.

В треугольнике ABC  I и I_a – центры вписанной и вневписанной окружностей, A' точка описанной окружности, диаметрально противоположная A, AA₁ – высота. Докажите, что  ∠IA'I_a = ∠IA₁I_a.

Решение

  Поскольку  ∠A₁AB = 90° – ∠B = 90° – ∠CA'A = ∠CAA'  и  ∠ACA' = 90°,  треугольники ACA' и AA₁B подобны. Следовательно,  AA₁·AA' = AB·AC.  С другой стороны,  ∠AI_aC = ^∠B/₂ = ∠ABI,  значит, треугольники AIB и ACI_a подобны и  AI·AI_a = AB·AC.
  Пусть точка A₂ симметрична A₁ относительно биссектрисы угла A. Тогда A₂ лежит на AA' и, как показано выше,  AA₂·AA' = AI·AI_a.  Поэтому четырёхугольник IA₂A'I_a – вписанный и  ∠IA'I_a = ∠IA₂I_a = ∠IA₁I_a  (см. рис.).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2016
класс
Класс	10
задача
Номер	10.2