|
|
 |
Условие
Дан треугольник ABC. Точка K – основание биссектрисы внешнего угла A. Точка M – середина дуги AC описанной окружности. Точка N выбрана на биссектрисе угла C так, что AN || BM. Докажите, что точки M, N и K лежат на одной прямой.
Решение 1
Пусть I – центр вписанной окружности треугольника. Тогда точки K, M, N лежат на прямых, содержащих стороны треугольника BIC (см. рис.). При этом KB : KC = AB : AC, NC : IN = AC : AB' = (BC + AB) : AB (BB' – биссектриса), MI : MB = MC : MB = AB' : AB = AC : (AB + BC) – первое равенство следует из леммы о трезубце (см. задачу 53119), а второе – из подобия треугольников BMC и BAB'. По теореме Менелая получаем утверждение задачи.
Решение 2
Заметим, что ∠MAC = ∠MBC = ∠ABM = ∠BAN, то есть прямые AI и AK являются внутренней и внешней биссектрисами треугольника AMN. Пусть AI пересекает MN и BC в точках P и Q соответственно, а AK пересекает MN в точке K'. Тогда четверки (B, C, K, Q) и (M, N, K', P) гармонические, и, проецируя прямую MN на BC из точки I, получаем, что K' совпадает с K.
