Задача 66280

Темы:    [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Казицына Т.В.

Лёша нарисовал геометрическую картинку, обведя четыре раза свой пластмассовый прямоугольный треугольник, прикладывая короткий катет к гипотенузе и совмещая вершину острого угла с вершиной прямого. Оказалось, что "замыкающий" пятый треугольник – равнобедренный (см. рис., равны именно отмеченные стороны). Найдите острые углы Лёшиного треугольника?

Решение

  Пусть меньший из углов Лёшиного треугольника равен α. Обозначим точки так, как показано на рисунке.

  Заметим, что четыре угла белого пятиугольника равны по  90° + α. Значит, пятый угол (при вершине F) равен  540° – 4(90° + α) = 180° – 4α.  Следовательно,  ∠EAF = ∠AFE = 4α.
  Теперь заметим, что равнобедренные треугольники ABC и CDE с углом при вершине  90° + α  равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому  AC = CE  и  ∠BAC = ∠CED = 45° – ^α/₂.  Значит, треугольник ACE равнобедренный и  ∠CAE = ½ (180° – ((90° + α) – (90° – α)) = 90° – α.
С другой стороны,  ∠CAE = ∠BAE – ∠BAC = (90° + 4α) – (45° – ^α/₂) = 45° + ^9α/₂,  откуда  11α = 90°.

Ответ

^90°/₁₁, ^900°/₁₁.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир им.Ломоносова
номер/год
Год	2017
задача
Номер	5