Задача 66307

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вневписанные окружности ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Условие

Авторы: Берлов С.Л., Шарич В.

Точка I – центр вписанной окружности треугольника ABC, M – середина стороны AC, а W – середина дуги AB описанной окружности, не содержащей C. Оказалось, что  ∠AIM = 90°.  В каком отношении точка I делит отрезок CW?

Решение

Пусть I_c – центр вневписанной окружности, касающейся стороны AB. Так как  AI_c ⊥ AI,  то  IM || AI_c,  то есть IM – средняя линия треугольника ACI_c. По лемме о трезубце (см. задачу 55381) W – середина II_c, следовательно,  CI = II_c = 2IW  (см. рис.).

Ответ

2 : 1.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2017
класс
Класс	9
задача
Номер	9.2