ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66316
Темы:    [ Четырехугольник: вычисления, метрические соотношения. ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
[ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Соколов А.

Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Пусть ωA, ωB, ωC, ωD – описанные окружности треугольников BCD, ACD, ABD, ABC соответственно. Обозначим через XA произведение степени точки A относительно ωA на площадь треугольника BCD. Аналогично определим XB, XC, XD. Докажите, что  XA + XB + XC + XD = 0.


Решение

  Для вписанного четырёхугольника утверждение очевидно (все степени равны нулю).
  Заметим, что точка D лежит вне окружности ωD тогда и только тогда, когда  ∠A + ∠C > ∠B + ∠D,  то есть тогда и только тогда, когда C лежит внутри окружности ωC. Таким образом, знаки чисел XC и XD противоположны.
  Пусть прямая CD пересекает AB в точке P, а окружности ωC, ωD повторно – в точках C′, D′. Тогда отношение площадей треугольников ABC и ABD равно отношению их высот, которое, в свою очередь, равно PC/PD. Поскольку  PC·PD′ = PA·PB = PC′·PD,  это отношение равно
PC′/PD′ = PC–PC′/PD–PD′ = CC′/DD′.  С другой стороны, отношение абсолютных значений степеней точек C и D относительно соответствующих окружностей равно  CD·CC′/CD·DD′ = CC′/DD′  (см. рис.). Следовательно,  |XC| = |XD|  и  XC + XD = 0.

  Аналогично  XA + XB = 0.
  Если  AB || CD,  то  SABC = SABD,  CC′ = DD′,  и мы опять получаем, что  XC + XD = 0.

Замечания

Равенство  |XA| = |XB| = |XC| = |XD|  выполняется и для точек, не являющихся вершинами выпуклого четырёхугольника.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2017
класс
Класс 10
задача
Номер 10.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .