|
|
 |
Условие
Четырёхугольник ABCD описан около окружности с центром I и вписан в окружность Ω. Прямые AB и CD пересекаются в точке P, а прямые BC и AD пересекаются в точке Q. Докажите, что описанная окружность ω треугольника PIQ перпендикулярна Ω.
Решение
Так как четырёхугольник ABCD вписанный, биссектрисы углов между его противоположными сторонами перпендикулярны (см. задачу 52499), то есть ∠PIQ = 90° и PQ – диаметр окружности ω. Пусть R – точка пересечения диагоналей четырёхугольника. Тогда ω пересекает PR в такой точке S, что PR ⊥ QS. Как известно (см. статью А. Заславского "Некоторые факты проективной геометрии", следствие 5), PR – поляра Q относительно Ω. Значит, точки Q и S инверсны относительно Ω, следовательно, проходящая через них окружность перпендикулярна Ω (см. рис.).
Замечания
Утверждение задачи остается верным для любого вписанного четырёхугольника, если определить точку I как точку пересечения биссектрис углов APC и AQC.
