Задача 66369
|
|
 |
Условие
На стороне AB квадрата ABCD отмечена точка K, а на стороне BC – точка L так, что KB = LC. Отрезки AL и CK пересекаются в точке P. Докажите, что отрезки DP и KL перпендикулярны.
Решение
Пусть AL и DK пересекаются в точке R, а CK и DL – в точке T (см. рисунок). Из условия задачи следует, что ΔCBK = ΔCL (по двум катетам), значит, ∠BCK = ∠CDL. Тогда CT – высота прямоугольного треугольника DCL, поэтому KT – высота треугольника DKL.
Аналогично, ΔABL = ΔDAK, откуда ∠BAL = ∠ADK. Тогда AR – высота прямоугольного треугольника DAK, поэтому LR – высота треугольника DKL.
Таким образом, P – точка пересечения высот треугольника DKL, значит, прямая DP содержит его третью высоту, то есть DP⊥ KL.
