ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66371
Темы:    [ Формулы сокращенного умножения (прочее) ]
[ Многочлены (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

При каких целых значениях m число Р = 1 + 2m + 3m2 + 4m3 + 5m4 + 4m5 + 3m6 + 2m7 + m8 является квадратом целого числа?

Решение

Р = (1 + m + m2 + m3 + m4)2, поэтому Р является квадратом целого числа при любых целых значениях m. Получить это можно, разложив Р на множители, например, так: 1 + 2m + 3m2 + 4m3 + 5m4 + 4m5 + 3m6 + 2m7 + m8 = (1 + m + m2 + m3 + m4) + (m + m2 + m3 + m4 + m5) + (m2 + m3 + m4 + m5 + m6) + (m3 + m4 + m5 + m6 + m7) + (m4 + m5 + m6 + m7 + m8) = (1 + m + m2 + m3 + m4) + m (1 + m + m2 + m3 + m4) + m2 (1 + m + m2 + m3 + m4) + m3 (1 + m + m2 + m3 + m4) + m4 (1 + m + m2 + m3 + m4) = (1 + m + m2 + m3 + m4)2.

Ответ

при любых.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2017/18
класс
Класс 8
задача
Номер 8.4.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .