Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Выбрано 3 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

Фома и Ерёма делят кучку из 25 монет в 1, 2, 3, ..., 25 алтынов. На каждом ходу один из них выбирает монету из кучки, а другой говорит, кому её отдать. Первый раз выбирает Фома, далее тот, у кого сейчас больше алтынов, при равенстве – тот же, кто в прошлый раз. Может ли Фома действовать так, чтобы в итоге обязательно получить больше алтынов, чем Ерёма, или Ерёма всегда сможет Фоме помешать?

Вниз   Решение


На шахматной доске стоят восемь ладей, не бьющих друг друга. Докажите, что среди попарных расстояний между ними найдутся два одинаковых. (Расстояние между ладьями – это расстояние между центрами клеток, в которых они стоят.)

ВверхВниз   Решение


На продолжениях сторон CA и AB треугольника ABC за точки A и B соответственно отложены отрезки AE = BC и BF = AC. Окружность касается отрезка BF в точке N, стороны BC и продолжения стороны AC за точку C. Точка M – середина отрезка EF. Докажите, что прямая MN параллельна биссектрисе угла A.

Вверх   Решение

Задача 66404
Темы:    [ Прямые, касающиеся окружностей ]
[ Вневписанные окружности ]
[ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
Из корзины
Прислать комментарий

Условие

На продолжениях сторон CA и AB треугольника ABC за точки A и B соответственно отложены отрезки AE = BC и BF = AC. Окружность касается отрезка BF в точке N, стороны BC и продолжения стороны AC за точку C. Точка M – середина отрезка EF. Докажите, что прямая MN параллельна биссектрисе угла A.

Решение

Пусть прямая, проходящая через точку E и параллельная MN, пересекает прямую AB в точке X (см. рисунок). Тогда достаточно доказать, что треугольник XAE – равнобедренный. Поскольку MN – средняя линия треугольника EFX, то XF = 2NF. Используя равенства AE = BC, BF = AC и то, что длина отрезка AN равна полупериметру треугольника ABC, получим: AX = AF – XF = AB + BF – 2NF = AB + AC – 2NF = AB + AC – 2(AB + BF – AN) = AB + AC – 2(AB + AC – AN) = BC = AE. То есть треугольник XAE – равнобедренный и биссектриса его внешнего угла A параллельна основанию.

Комментарий. Также можно было продлить MN до пересечения с прямой AC и доказать равенство отрезков AN и AY, где Y – точка пересечения. Это можно сделать, например, используя теорему Менелая для треугольника EAF и прямой MN.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Дата 2018-04-15
класс
Класс 8-9
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .