|
|
 |
Условие
В прямоугольном треугольнике ABC
с прямым углом C провели биссектрисы AK и BN, на которые
опустили перпендикуляры CD и CE из вершины прямого угла.
Докажите, что длина отрезка DE равна радиусу вписанной окружности.
Решение
Первый способ. Пусть I – центр
вписанной окружности треугольника ABC, r – ее радиус, см. рисунок слева. Заметим,
что ∠EID = ∠AIB = 135°, а CI = (как
диагональ квадрата со стороной r). Так как CI – диаметр
окружности, описанной около треугольника EID, то по следствию из
теоремы синусов DE =
sin∠EID = r.
Второй способ. Пусть прямые CE и CD пересекают AB в точках X и Y соответственно, см. рисунок справа. Тогда треугольник CBX – равнобедренный и CE = XE. Аналогично, CD = YD. Следовательно, DE – средняя линия треугольника XCY, то есть DE = 0,5XY.
В свою очередь, XY = BX + AY – AB = BC + AC – AB = 2r, откуда и следует утверждение задачи.
Комментарий. Точка I – центр описанной окружности треугольника XCY.
