|
|
 |
Условие
Внутри параллелограмма ABCD отмечена точка K. Точка M – середина BC, точка P – середина KM. Докажите, что если ∠APB = ∠CPD = 90°, то AK = DK.
Решение
Первое решение. Удвоим отрезки BP и CP за точку P, то есть отметим точки B' и C' такие, что P является серединой отрезков BB' и CC' (см. рис. ). Ясно, что K – середина B'C'. Кроме того, B'C' = BC, а потому AC'B'D – параллелограмм. Достаточно доказать, что AC'B'D – прямоугольник, тогда утверждение задачи будет следовать из равенства прямоугольных треугольников AC'K и DB'K.
Заметим, что в треугольнике ABB' отрезок AP является медианой и высотой. Это означает, что треугольник равнобедренный и AB' = AB. Аналогично, рассматривая треугольник DCC', получаем DC' = DC.
Но AB = DC, так как это противоположные стороны параллелограмма. Следовательно, AB' = DC'. Получается, что в параллелограмме AC'B'D диагонали равны между собой. Тогда это прямоугольник, откуда следует искомое утверждение.
Второе решение. Отметим середины E и F отрезков AB и CD и середины Q и S отрезков EF и AD (см. рис.). Заметим, что PE = AB / 2 и PF = DC / 2 из свойства медиан, проведенных к гипотенузам в прямоугольных треугольниках APB и CPD. Но так как AB = DC, получаем, что PE = PF. Отсюда следует, что треугольник EPF равнобедренный, и его медиана PQ перпендикулярна EF, а значит, и AD.
С другой стороны, Q является серединой MS, так как средние линии параллелограмма делят его на четыре равные части. Получаем, что отрезок PQ – средняя линия треугольника MKS, параллельная стороне KS. Тогда KS тоже перпендикулярен AD. Это означает, что в треугольнике AKD совпала медиана и высота, то есть он равнобедренный, откуда и следует требуемое.
Установить, что PQ ⊥ EF, можно и другим образом: из данных в условии прямых углов следует, что точка P лежит на окружностях с диаметрами AB и CD. Центрами этих окружностей являются точки E и F, а их радиусы равны. Поэтому отрезок, соединяющий их точки пересечения (одна из которых и есть P), перпендикулярен отрезку EF и делит его пополам.
