Задача 66474

Темы:    [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Алгебраические уравнения и системы уравнений (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Григорьев М. А.

Докажите, что для любых натуральных a₁, a₂, ..., a_k таких, что , у уравнения не больше чем a₁a₂...a_k решений в натуральных числах. ([x] – целая часть числа x, т. е. наибольшее целое число, не превосходящее x.)

Решение

Обозначим .

Предположим, что натуральное число n является решением уравнения из условия задачи. Пусть r_i – это остаток от деления n на a_i, иными словами, . Тогда

откуда .

Таким образом, при заданном наборе чисел (r₁, ..., r_k), удовлетворяющих условиям 0 ≤ r_i < a_i, может быть не более одного натурального решения n с таким набором остатков. Всего таких наборов ровно a₁a₂...a_k, поэтому и количество решений уравнения не больше a₁a₂...a_k.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	81
Год	2018
класс
Класс	9
задача
Номер	3