Задача 66488

Тема:    [ Векторы помогают решить задачу ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Косухин О.Н.

На сторонах выпуклого шестиугольника $ABCDEF$ во внешнюю сторону построены правильные треугольники $ABC_1$, $BCD_1$, $CDE_1$, $DEF_1$, $EFA_1$ и $FAB_1$. Оказалось, что треугольник $B_1D_1F_1$ правильный. Докажите, что треугольник $A_1C_1E_1$ также правильный.

Решение

По условию треугольники $B_1D_1F_1$ и $DEF_1$ являются правильными. Значит, при повороте на $60^\circ$ против часовой стрелки векторы $\overrightarrow{F_1D_1}$ и $\overrightarrow{F_1D}$ перейдут в векторы, равные $\overrightarrow{F_1B_1}$ и $\overrightarrow{F_1E}$ соответственно (см. рисунок). Имеем $\overrightarrow{F_1D_1}=\overrightarrow{F_1D}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CD_1}$ и $\overrightarrow{F_1B_1}=\overrightarrow{F_1E}+\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FB_1}$. Отсюда получаем, что вектор $\overrightarrow{DD_1}=\overrightarrow{F_1D_1}-\overrightarrow{F_1D}= \overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CD_1}$ при таком повороте перейдёт в вектор, равный $\overrightarrow{EB_1}=\overrightarrow{F_1B_1}-\overrightarrow{F_1E}= \overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FB_1}$.

Также по условию треугольники $BCD_1$, $CDE_1$, $EFA_1$ и $FAB_1$ являются правильными. Значит, при повороте на $120^\circ$ против часовой стрелки векторы $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{CE_1}$, $\overrightarrow{EF}$ и $\overrightarrow{FB_1}$ перейдут в векторы, равные $\overrightarrow{CD_1}$, $\overrightarrow{DC}$, $\overrightarrow{FA_1}$ и $\overrightarrow{AF}$ соответственно. Отсюда получаем, что векторы $\overrightarrow{BE_1}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CE_1}$ и $\overrightarrow{EB_1}=\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FB_1}$ при таком повороте перейдут в векторы, равные $\overrightarrow{DD_1}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CD_1}$ и $\overrightarrow{AA_1}=\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{FA_1}$ соответственно. Следовательно, при повороте на $300^\circ$ против часовой стрелки или, что то же, при повороте на $60^\circ$ по часовой стрелке, вектор $\overrightarrow{BE_1}$ перейдёт в вектор, равный $\overrightarrow{AA_1}$.

Наконец, по условию треугольник $ABC_1$ является правильным. Значит, при повороте на $60^\circ$ по часовой стрелке вектор $\overrightarrow{C_1B}$ перейдёт в вектор, равный $\overrightarrow{C_1A}$. Отсюда получаем, что вектор $\overrightarrow{C_1E_1}=\overrightarrow{C_1B}+\overrightarrow{BE_1}$ при таком повороте перейдёт в вектор, равный $\overrightarrow{C_1A_1}=\overrightarrow{C_1A}+\overrightarrow{AA_1}$. Следовательно, треугольник $A_1C_1E_1$ также является правильным.

Комментарий.

См. также решение задачи 66471.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	81
Год	2018
класс
Класс	11
задача
Номер	5