|
|
 |
Условие
Женя красила шарообразное яйцо последовательно в пяти
красках, погружая его в стакан с очередной краской так, чтобы
окрашивалась ровно половина площади поверхности яйца (полсферы).
В результате яйцо окрасилось полностью. Докажите, что одна из красок
была лишней, то есть если бы Женя не использовала эту краску, а в
другие краски погружала бы яйцо так же, то оно всё равно окрасилось бы
полностью.
Решение
Пусть окрашенная сфера S имеет центр O, и пусть S_i — полусферы, окрашенные в i-й цвет, i=1,\dots,5. Пусть A_i — срединная точка полусферы S_i: A_i\in S_i и плоскость, проходящая через граничную окружность полусферы S_i, перпендикулярна вектору \overrightarrow{OA_i}.
Выпуклая оболочка точек A_1,\dots, A_5 есть выпуклый многогранник M с вершинами A_1,\dots, A_5. Покажем, что этот многогранник содержит точку O. Действительно, если O\notin M, то найдется такая плоскость \alpha, проходящая через O, что M лежит строго внутри одного из полупространств, на которые \alpha делит все пространство. Тогда для точки P\in S, лежащей в другом полупространстве и такой, что \overrightarrow{OP}\perp \alpha, все скалярные произведения \overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OA_i} отрицательны, откуда точка P не принадлежит никакой полусфере S_i, а значит, не покрашена.
Принадлежность O\in M в свою очередь означает, что O принадлежит одному из тетраэдров, образованных какими-то четырьмя точками из A_1,\dots,A_5 (M есть объединение таких тетраэдров). Пусть, без ограничения общности, точка O принадлежит тетраэдру с вершинами A_1, A_2, A_3, A_4. Это означает, что сфера S покрашена первыми четырьмя красками: если A\in S и A\notin S_i для i=1,2,3,4, то \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OA_i} < 0 для всех i=1,2,3,4, то есть весь тетраэдр A_1A_2A_3A_4 лежит строго в одном полупространстве относительно плоскости, проходящей через O перпендикулярно вектору \overrightarrow{OA}, и не может содержать точку O.
Комментарий редактора.
Доказывать, что точка O внутри многогранника M действительно лежит в одном из указанных тетраэдров, можно следующим образом. Пусть луч, выходящий из точки A_1 и проходящий через точку O, пересекает дальше границу многогранника в точке Q. Поскольку точка Q лежит на одной из граней многогранника, она принадлежит треугольнику с вершинами в каких-то трех из исходных точек, A_i, A_j, A_k. А значит, O принадлежит тетраэдру A_1A_iA_jA_k. (Само это утверждение является частным случаем теоремы Каратеодори о выпуклой оболочке: любая точка n-мерного пространства, принадлежащая выпуклой оболочке нескольких точек, принадлежит и выпуклой оболочке не более чем n+1 из этих точек.)
