|
|
 |
Условие
В турнире по гандболу участвуют 20 команд.
После того как каждая
команда сыграла с каждой по разу, оказалось, что количество очков у
всех команд разное.
После того как каждая команда сыграла с каждой по
второму разу, количество очков у всех команд стало одинаковым.
В гандболе за победу команда получает 2 очка, за ничью 1 очко, за
поражение — 0 очков.
Верно ли, что найдутся две команды, по разу
выигравшие друг у друга?
Решение
Заметим, что в каждом матче разыгрывается 2 очка, за один круг проводится $20 \cdot 19 / 2 = 190$ матчей. Тогда за один круг будет разыграно 380 очков, а после окончания турнира каждая команда наберёт по 38 очков. Далее предположим, что требуемой пары команд не найдётся.
Назовём команду с наибольшим числом очков после первого круга лидером. На первом круге лидер набрал не менее 29 очков, так как в противном случае всеми командами набрано не более $28 + 27 + \ldots + 9 = 370$ очков, что меньше, чем общее число очков, разыгранное во всех матчах первого круга.
Следовательно, на первом круге лидер выиграл не менее 10 матчей. Тогда на втором круге он в матчах с этими командами также выиграет или сыграет вничью (в противном случае найдётся требуемая пара команд), а следовательно, в матчах второго круга он наберёт не менее 10 очков. Общая сумма очков лидера за два круга составит не менее 39 очков. Противоречие.
Комментарии.
1. В последней части решения фактически доказано, что в первом круге лидер набрал не более 28 очков. Рассуждая аналогично, можно доказать, что команда с наименьшим числом очков после первого круга набрала в нём не менее 10 очков. Тогда по принципу Дирихле найдутся две команды с одинаковым числом очков. Противоречие.
2. В случае нечетного числа команд утверждение задачи неверно. Опишем пример для $2n+1$ команд. Занумеруем их от 1 до $2n+1$. Пусть в первом круге
во встречах команд, разность номеров которых больше $n$, побеждает
команда с меньшим номером, а остальные игры заканчиваются вничью. Во
втором круге наоборот, если разность номеров больше $n$, игра
заканчивается вничью, а в остальных встречах побеждает команда с
большим номером. Тогда команда с номером $i$ в первом круге набирает
$3n+1-i$ очков, а во втором $n-1+i$.
Ответ
Да, верно.
