Задача 66557

Тема:    [ Неравенство треугольника (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Новиков В. В.

Из шести палочек попарно различной длины сложены два треугольника (по три палочки в каждом). Всегда ли можно сложить из них один треугольник, стороны которого состоят из одной, двух и трех палочек соответственно?

Решение

Рассмотрим два треугольника, образованных такими шестью палочками. Упорядочим длины сторон первого треугольника и обозначим их через $A > B > C$; длины сторон второго аналогично обозначим через $a > b > c$; также без ограничения общности считаем, что самая длинная палочка оказалась в первом треугольнике, то есть $A > a$. Из неравенства треугольника следует, что $A < B + C$ и $a < b + c$. Тогда возьмём в качестве сторон искомого треугольника $A$, $B + a$, $C + b + c$. Осталось проверить, что выполнены все три неравенства треугольника: $$\begin{align*} A &< B + C < (B + a) + (C + b + c); \\ B + a &< A + (b + c) < A + (C + b + c) ; \\ C + b + c &< B + a + a < B + A + a = A + (B + a) . \end{align*}$$

Комментарий.

Существуют и другие способы получить требуемый треугольник. Например, если упорядочить длины всех шести палочек в порядке убывания $a_1 > a_2 > a_3 > a_4 > a_5 > a_6$, то можно составить треугольник со сторонами $a_1$, $a_2 + a_4$, $a_3 + a_5 + a_6$.

Ответ

Да, всегда.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	83
Год	2020
класс
Класс	9
задача
Номер	2