ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66562
Тема:    [ Многочлены (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Приведите пример такого квадратного трехчлена $P(x)$, что при любом $x$ справедливо равенство $P(x)+P(x+1)+\dots + P(x+10)=x^2$.

Решение

Пусть искомый многочлен $P(x)=ax^2+bx+c$. Тогда \begin{align*} P(x)+&P(x+1)+\dots+P(x+10)=\\ & =a(x^2+(x+1)^2+\dots+(x+10)^2)+{}\\ &\qquad + b(x+(x+1)+\dots+(x+10))+11c=\\ & =a(11x^2+(2+4+\dots + 20)x+(1+2^2+\dots+10^2))+{}\\ & + b(11x+1+2+\dots+10)+11c=\\ & =11ax^2+110ax+385a+11bx+55b+11c=\\ & =11ax^2 + (110a+11b)x+(385a+55b+11c). \end{align*} Получаем равенство квадратных трехчленов $$ 11ax^2 + (110a+11b)x+(385a+55b+11c)\quad \text{и}\quad x^2. $$ Это равносильно равенству коэффициентов, то есть системе уравнений \begin{cases} 11a=1,\\ 110a+11b=0,\\ 385a+55b+11c=0,\\ \end{cases} которая имеет единственное решение $a=\frac{1}{11}$, $b=-\frac{10}{11}$, $c=\frac{15}{11}$.

Ответ

$\frac{x^2-10x + 15}{11}$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 83
Год 2020
класс
Класс 10
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .