Задача 66562

Тема:    [ Многочлены (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Евдокимов М.А.

Приведите пример такого квадратного трехчлена $P(x)$, что при любом $x$ справедливо равенство $P(x)+P(x+1)+\dots + P(x+10)=x^2$.

Решение

Пусть искомый многочлен $P(x)=ax^2+bx+c$. Тогда $$\begin{array}{rl}P(x)+& P(x+1)+\cdots +P(x+10)=\\ & =a(x^2+(x+1{)}^2+\cdots +(x+10{)}^2)+\\ & +b(x+(x+1)+\cdots +(x+10))+11c=\\ & =a(11x^2+(2+4+\cdots +20)x+(1+2^2+\cdots +{10}^2))+\\ & +b(11x+1+2+\cdots +10)+11c=\\ & =11a{x}^2+110ax+385a+11bx+55b+11c=\\ & =11a{x}^2+(110a+11b)x+(385a+55b+11c).\end{array}$$ Получаем равенство квадратных трехчленов $$11a{x}^2+(110a+11b)x+(385a+55b+11c)\text{и}{x}^2.$$ Это равносильно равенству коэффициентов, то есть системе уравнений $$\{\begin{array}{l}11a=1,\\ 110a+11b=0,\\ 385a+55b+11c=0,\end{array}$$ которая имеет единственное решение $a=\frac{1}{11}$, $b=-\frac{10}{11}$, $c=\frac{15}{11}$.

Ответ

$\frac{x^2-10x + 15}{11}$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	83
Год	2020
класс
Класс	10
задача
Номер	1