Задача 66564

Темы:    [ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ] [ Вписанные и описанные многоугольники ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Малкин М.И.

Существует ли вписанный в окружность $19$-угольник, у которого нет одинаковых по длине сторон, а все углы выражаются целым числом градусов?

Решение

Допустим, такой 19-угольник существует. Рассмотрим градусные меры $19$ центральных углов, опирающихся на стороны: $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_{19}$. Угол между $(i+1)$-й и $i$-й сторонами, измеренный в градусах, равен $$\frac{360-\alpha_{i}-\alpha_{i+1}}{2},$$ а значит, это число целое для любого $1\leqslant i\leqslant 19$ (для удобства записи считаем, что $\alpha_{20}=\alpha_1$). Это означает, что $\alpha_i+\alpha_{i+1}$ — целое четное число. Тогда $$\begin{align*} \alpha_{1}=&(\alpha_1+\alpha_2+\dots+\alpha_{19})-\\ &-(\alpha_2+\alpha_3)-(\alpha_4+\alpha_5)-\dots-(\alpha_{18}+\alpha_{19})=\\ =&360-(\alpha_2+\alpha_3)-(\alpha_4+\alpha_5)-\dots-(\alpha_{18}+\alpha_{19}) \end{align*}$$ тоже целое четное число. Аналогично можно доказать, что каждое $\alpha_i$ — целое четное число. Поскольку все стороны в 19-угольнике разные, то и центральные углы, опирающиеся на них, должны быть разными, то есть $\alpha_i\neq \alpha_j$. Тогда $360=\alpha_1+\alpha_2+\dots+\alpha_{19}\geqslant 2+4+\dots+38=19\cdot(2+38)/2=380$. Противоречие.

Ответ

Нет.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	83
Год	2020
класс
Класс	10
задача
Номер	3