Условие
Точка $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$. Серединный перпендикуляр к $BC$ пересекает $AB$ и $AC$ в точках $X$ и $Y$. Прямая $AO$ пересекает прямую $BC$ в точке $D$, $M$ — середина $BC$. Описанная окружность треугольника $ADM$ пересекает описанную окружность треугольника $ABC$ в точке $E$, отличной от $A$. Докажите, что прямая $OE$ касается описанной окружности треугольника $AXY$.
Решение
Заметим, что $OA$ касается описанной окружности треугольника $AXY$,
так как
$$\angle BAO = 90^{\circ} - \angle C = \angle MYC = \angle XYA.$$
Пусть $F$ — точка на окружности, описанной около $ABC$, такая что
$AF \perp BC$. Ясно, что
\begin{align*}
\angle AEF
&= \angle AEB + \angle BEF =\\
&= \angle ACB + \angle BAF = \\
&= \angle ACD + \angle DAC =\\
&= \angle ADM = \angle AEM.
\end{align*}
Получаем, что $E$, $M$ и $F$ лежат на одной прямой. Кроме того,
$\angle MEC = \angle FEC = \angle FAC = \angle MYC$,
что значит, что
$E$, $Y$, $M$ и $C$ лежат на одной окружности. Далее,
\begin{align*}
\angle AEY
&= \angle AEC - \angle YEC =\\
&= 180^{\circ} - \angle ABC -
\angle YMC = \\
&= 90^{\circ} - \angle ABC = \angle AXY,
\end{align*}
т.е. $E$
лежит на описанной окружности треугольника $AXY$. Тогда $OE$ —
касательная, так как $OE=OA$ и $OA$ — касательная к окружности $AXY$.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Московская математическая олимпиада |
|
год |
|
Номер |
83 |
|
Год |
2020 |
|
класс |
|
Класс |
10 |
|
задача |
|
Номер |
4 |
