Задача 66578

Тема:    [ Рациональные и иррациональные числа ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Условие

Автор: Бородин П.А.

Кузнечик прыгает по числовой прямой, на которой отмечены точки $-a$ и $b$. Известно, что $a$ и $b$ — положительные числа, а их отношение иррационально. Если кузнечик находится в точке, которая ближе к $-a$, то он прыгает вправо на расстояние, равное $a$. Если же он находится в середине отрезка $[-a;b]$ или в точке, которая ближе к $b$, то он прыгает влево на расстояние, равное $b$. Докажите, что независимо от своего начального положения кузнечик в некоторый момент окажется от точки 0 на расстоянии, меньшем $10^{-6}$.

Решение

Первое решение.

Сначала покажем, что расстояние до ближайшего целого числа от числа вида $c-mq$ (где $m\in\mathbb{N}$, $q$ — иррациональное и $c$ — любое фиксированное число) можно выбором $m$ сделать сколь угодно малым. Рассмотрим $n+1$ чисел $q,2q,3q,\ldots ,(n+1)q$. Их дробные части попадают в один из $n$ промежутков $$(0;\frac{1}{n}),(\frac{1}{n};\frac{2}{n}),\dots ,(\frac{n-1}{n};1).$$ Тогда по принципу Дирихле найдутся два числа $m_1q$ и $m_2q$ $(m_2>m_1)$, дробные доли которых попали в один и тот же промежуток. Их разность $(m_2q-m_1q)=(m_2-m_1)q$ также является числом вида $mq$, причём, поскольку разность их дробных частей по модулю меньше $1/n$, для некоторого целого $N$ верно неравенство $$N-\frac{1}{n}<(m_2-m_1)q<N+\frac{1}{n}.$$ Следовательно, существует такое число $\psi\in \left(-\frac{1}{n};\frac{1}{n}\right)$, что $(m_2-m_1)q=N+\psi.$ Выберем натуральное число $l$ так, что выполняется одно из двойных неравенств $l\psi\leqslant\{c\}<(l+1)\psi$ или $-(l+1)\psi<\{c\}\leqslant -l\psi$. Тогда найдётся такое целое число $K$, что $|(N+\psi)l-(K+c)|<1/n$, т.е. $$|l(m_2-m_1)q-(K+c)|<\frac{1}{n}.$$ Следовательно, $$-K-\frac{1}{n}<c-mq<-K+\frac{1}{n},$$ где $m=l(m_2-m_1)\in\mathbb{N}$. Значит, расстояние от целого числа $-K$ до числа $c-mq$ меньше $1/n$. Увеличивая значение $n$, можно сделать это расстояние сколь угодно малым.

Без ограничения общности будем считать, что $b>a$. При преобразовании подобия прямой с коэффициентом $1/a$ точка $-a$ перейдёт в точку $-1$, а точка $b$ — в точку $b/a>1$. Кузнечик теперь будет прыгать на 1 вправо и на $q=b/a$ влево. В некоторый момент кузнечик пересечёт середину отрезка $[-1;q]$ прыжком на 1 вправо и попадёт в некоторую точку $c$. После этого кузнечик никогда не будет делать прыжки длины $q$ более одного раза подряд. При прыжке на 1 дробные доли точек, в которых кузнечик находился до и после прыжка, одинаковые.

Пусть кузнечик находится в точке $c$. Выберем такое натуральное число $m$, что расстояние от $c-mq$ до ближайшего целого меньше ${10^{-6}}/a$. Если кузнечик сделает $m$ прыжков влево, он будет находиться на расстоянии менее ${10^{-6}}/a$ от какого-то целого числа, независимо от того, сколько при этом он совершил прыжков вправо на 1. Поскольку точка 0 находится левее середины нашего отрезка, то, прыгая на 1 вправо, кузнечик обязательно окажется на расстоянии менее ${10^{-6}}/a$ от точки 0, а на исходной прямой — на расстоянии, меньшем $10^{-6}$ от точки 0.

Второе решение.

Независимо от своего начального положения $x_0$ кузнечик рано или поздно окажется на промежутке $\Delta=\left[-\frac{a+b}{2}; \frac{a+b}{2}\right)$. Действительно, если $x_0<\frac{b-a}{2}$, то он будет прыгать вправо на $a$, пока не перепрыгнет точку $\frac{b-a}{2}$ и не окажется на промежутке $\Delta_r=\left[\frac{b-a}{2}; \frac{a+b}{2}\right)\subset \Delta$, a если $x_0\geqslant \frac{b-a}{2}$, то он будет прыгать влево на $b$, пока не перепрыгнет точку $\frac{b-a}{2}$ и не окажется на промежутке $\Delta_l=\left[-\frac{a+b}{2}; \frac{b-a}{2}\right)\subset \Delta$.

При дальнейших прыжках кузнечик уже не покинет промежутка $\Delta$: оказавшись на $\Delta_r$, он прыгает влево на $b$ и попадает на $\Delta_l$, а оказавшись на $\Delta_l$, он прыгает вправо на $a$ и попадает на $\Delta_r$.

Если склеить промежуток $\Delta$ в окружность той же длины $a+b$, то указанные прыжки кузнечика на этой окружности будут уже прыжками в одну сторону на $a$ (или в другую сторону на $b$, что на данной окружности — одно и то же).

Поскольку отношение прыжка $a$ к длине $a+b$ окружности иррационально, следы кузнечика будут всюду плотны на окружности, то есть рано или поздно кузнечик попадёт на всякую дугу окружности. Следовательно, и на исходном промежутке $\Delta$ следы кузнечика всюду плотны, так что рано или поздно он попадёт в любую наперед заданную окрестность нуля.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	83
Год	2020
класс
Класс	11
задача
Номер	5