ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66582
Темы:    [ Пятиугольники ]
[ Правильные многоугольники ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
[ Средняя линия треугольника ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В правильном пятиугольнике $ABCDE$ отмечена точка $F$ – середина $CD$. Серединный перпендикуляр к $AF$ пересекает $CE$ в точке $H$. Докажите, что прямая $AH$ перпендикулярна прямой $CE$.

Решение

Первое решение. Угол правильного пятиугольника равен $108^{\circ}$, тогда $\angle ECD = \angle CED = \frac{180^{\circ} - 108^{\circ}}{2} = 36^{\circ}$, a $\angle ACD = 108^{\circ} - 36^{\circ} = 72^{\circ}$. Таким образом, $CE$ содержит биссектрису треугольника $ACF$ и, следовательно, пересекает серединный перпендикуляр к стороне $AF$ в точке, лежащей на описанной около этого треугольника окружности. Но $\angle F$ прямой, значит, и $\angle AHC$ прямой, как опирающийся на ту же дугу.

Второе решение. Аналогично первому решению $\angle ACE =\angle ECD= 36^{\circ}$. Так как $HP \parallel CD$, то по теореме Фалеса $AP = PC$, где $P$ – точка пересечения серединного перпендикуляра к $AF$ с диагональю $AC$, а углы $PHC$ и $ECD$ равны как внутренние накрест лежащие: $\angle PHC = \angle ECD = 36^{\circ}$. Следовательно, треугольник $PHC$ равнобедренный и $PH = PC$. Окончательно получаем, что $HP = PA = PC$ и треугольник $AHC$ прямоугольный, так как его медиана равна половине стороны, к которой она проведена.

Третье решение. Переформулируем задачу: пусть $H$ – основание перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на прямую $CE$. Тогда достаточно доказать, что полученная таким образом точка $H$ равноудалена от $A$ и $F$. Пусть диагонали $AD$ и $CE$ пересекаются в точке $I$. Отметим еще точку $G$ – середину отрезка $DI$. Заметим, что треугольник $AEI$ равнобедренный ($\angle AEI= \angle AIE=72^{\circ}$). Тогда $H$ – середина $EI$. Четырехугольник $HGFC$ – равнобокая трапеция, так как $GF\parallel IC$ (как средняя линия треугольника $IDC$), а $HG= \frac 12\,DE= \frac12\,DC=FC$. $AHGC$ – тоже равнобокая трапеция, потому что $HG \parallel DE\parallel AC$ и $AG=CH$. Окончательно получаем, что $AH=CG=HF$. Что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 84
Год 2021
класс
Класс 8
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .