Задача 66600

Темы:    [ Теорема Виета ] [ Кубические многочлены ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Фольклор

Многочлен $P(x)=x^3+ax^2+bx+c$ имеет три различных действительных корня, наибольший из которых равен сумме двух других. Докажите, что $c>ab$.

Решение

Пусть $x_1 < x_2 < x_3$ – корни многочлена $P(x)$. По условию $x_3 = x_1 + x_2$. Заметим, что $x_1 > 0$ (а значит, все корни положительны), так как иначе $x_3\leqslant x_2$, что противоречит максимальности корня $x_3$. Далее можно рассуждать по-разному.

Первый способ. Пользуясь формулами Виета для коэффициентов $a,b,c$, получаем $$c-ab =-x_1x_2x_3+(x_1+x_2+x_3)(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)=$$ $$=-x_1 x_2 (x_1+x_2)+2(x_1+x_2) \big(x_1x_2+(x_1+x_2)^2\big)=(x_1+x_2) \big(x_1 x_2+2(x_1+x_2)^2\big)>0,$$ откуда и следует требуемое неравенство.

Второй способ. Заметим, что $-a=x_1+x_2+x_3=2x_3$. Кроме того, $c-ab=P(-a)=P(2x_3)>0,$ так как многочлен $P(x)$ положителен при $x > x_3$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	84
Год	2021
класс
Класс	11
задача
Номер	1