Задача 66652

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вневписанные окружности ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Заславский А.А.

Пусть $I$ – центр вписанной окружности неравнобедренного треугольника $ABC$. Докажите, что существует единственная пара точек $M$, $N$, лежащих соответственно на сторонах $AC$, $BC$, такая, что $\angle AIM = \angle BIN$ и $MN \parallel AB$.

Решение

Проведем через $A$ и $B$ прямые, параллельные $IM$, $IN$ соответственно. Так как $MN \parallel AB$, эти прямые пересекутся в точке $J$, лежащей на луче $CI$ и такой, что $\angle IAJ = \angle IBJ$. Тогда радиусы окружностей $AIJ$ и $BIJ$ равны, т.е эти окружности симметричны относительно прямой $IJ$. Значит, окружность $AIJ$ проходит через точку $B'$, симметричную $B$ относительно биссектрисы угла $C$ (см. рис.).

Но точки $A$, $B$, $I$ и $B'$ лежат на одной окружности. Следовательно, окружности $AIJ$ и $BIJ$ совпадают и $J$ – центр вневписанной окружности треугольника. Таким образом, $\angle AIM=\angle BIN=90^{\circ}$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2018
Заочный тур
задачи
Номер	11 [8-9 кл]