Условие
На окружности, описанной около четырехугольника $ABCD$, отмечены точки $M$ и
$N$ – середины дуг $AB$ и $CD$ соответственно. Докажите, что $MN$ делит пополам отрезок, соединяющий центры вписанных окружностей треугольников $ABC$ и $ADC$.
Решение
Очевидно, что центры $I$, $J$ вписанных окружностей треугольников $ABC$ и $ADC$ лежат на отрезках $CM$ и $AN$ соответственно. При этом, по теореме о трезубце $IM = AM = 2R \sin \angle ANM$. Значит, расстояние от $I$ до прямой $MN$ равно $IM \sin \angle NMC = 2R \sin \angle ANM \sin \angle NMC$. Аналогично получаем такое же выражение для расстояния от $J$ до $MN$. Поскольку точки $I$ и $J$ лежат по разные стороны от $MN$, отсюда следует утверждение задачи.
Источники и прецеденты использования
