ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66654
Темы:    [ Описанные четырехугольники ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На окружности, описанной около четырехугольника $ABCD$, отмечены точки $M$ и $N$ – середины дуг $AB$ и $CD$ соответственно. Докажите, что $MN$ делит пополам отрезок, соединяющий центры вписанных окружностей треугольников $ABC$ и $ADC$.

Решение

Очевидно, что центры $I$, $J$ вписанных окружностей треугольников $ABC$ и $ADC$ лежат на отрезках $CM$ и $AN$ соответственно. При этом, по теореме о трезубце $IM = AM = 2R \sin \angle ANM$. Значит, расстояние от $I$ до прямой $MN$ равно $IM \sin \angle NMC = 2R \sin \angle ANM \sin \angle NMC$. Аналогично получаем такое же выражение для расстояния от $J$ до $MN$. Поскольку точки $I$ и $J$ лежат по разные стороны от $MN$, отсюда следует утверждение задачи.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2018
Заочный тур
задача
Номер 13 [9-11 кл]

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .