Плоскость раскрашена в семь цветов. Обязательно ли найдутся две точки одного цвета, расстояние между которыми равно 1?

   Решение

ABC - прямоугольный треугольник с прямым углом C. Докажите, что  c/r 2(1 + ).

   Решение

Постройте рациональную параметризацию окружности x² + y² = 1, проведя прямые через точку (1, 0).

   Решение

В треугольнике ABC проведена медиана AM. Докажите, что 2AM(b + c)cos(/2).

   Решение

  – разложение натурального числа m на простые множители. Обозначим  
Докажите, что  a^λ(m) ≡ 1 (mod m)  для любого целого числа a, взаимно простого с m.

   Решение

Володя решил стать великим писателем. Для этого он каждой букве русского языка сопоставил слово, содержащее эту букву. Потом написал слово, сопоставленное букве "A". Дальше каждую букву в нем заменил на сопоставленное ей слово (разделяя слова пробелами), потом в получившемся тексте вновь заменил каждую букву на сопоставленное ей слово, и так всего 40 раз. Володин текст начинается так: "РЯД КОРАБЛЕЙ НА ДРЕМЛЮЩИХ МОРЯХ". Докажите, что этот оборот встречается в Володином тексте еще хотя бы раз.

   Решение

Докажите, что выпуклый пятиугольник ABCDE с равными сторонами, углы которого удовлетворяют неравенствам  A B C D E, является правильным.

   Решение

В остроугольном треугольнике ABC угол B равен 60°, AM и CN – его высоты, а Q – середина стороны AC.
Докажите, что треугольник MNQ – равносторонний.

   Решение

Все клетки квадратной таблицы n×n пронумерованы в некотором порядке числами от 1 до n². Петя делает ходы по следующим правилам. Первым ходом он ставит фишку в любую клетку. Каждым последующим ходом Петя может либо поставить новую фишку на какую-то клетку, либо переставить фишку из клетки с номером a ходом по горизонтали или по вертикали в клетку с номером большим, чем a. Каждый раз, когда фишка попадает в клетку, эта клетка немедленно закрашивается; ставить фишку на закрашенную клетку запрещено. Какое наименьшее количество фишек потребуется Пете, чтобы независимо от исходной нумерации он смог за несколько ходов закрасить все клетки таблицы?

   Решение

Вписанная окружность треугольника ABC касается сторон AC и BC в точках B₁ и A₁. Докажите, что если AC > BC, то AA₁ > BB₁.

   Решение

Пусть  A₁, B₁, C₁ и D₁ — середины сторон  CD, DA, AB, BC квадрата ABCD, площадь которого равна S. Найдите площадь четырехугольника, образованного прямыми  AA₁, BB₁, CC₁ и DD₁.

   Решение

Имеется треугольник $ABC$ и линейка, на которой отмечены отрезки, равные сторонам треугольника. Постройте этой линейкой ортоцентр треугольника, образованного точками касания вписанной в треугольник $ABC$ окружности.

   Решение

Темы:    [ Необычные построения (прочее) ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Имеется треугольник $ABC$ и линейка, на которой отмечены отрезки, равные сторонам треугольника. Постройте этой линейкой ортоцентр треугольника, образованного точками касания вписанной в треугольник $ABC$ окружности.

Решение

Отложив на продолжении стороны $AC$ за точку $C$ отрезок $CX=BC$, мы сможем построить прямую $BX$, параллельную биссектрисе угла $C$. Аналогично можно построить прямую, параллельную биссектрисе угла $C$ и проходящую через $A$, а имея две параллельные прямые, можно с помощью линейки провести параллельную им прямую через любую точку. Поэтому для решения задачи достаточно построить точки $A'$, $B'$, $C'$ касания вписанной окружности со сторонами $BC$, $CA$, $AB$ (биссектрисы треугольника $ABC$ перпендикулярны сторонам $A'B'C'$). Отложим на продолжениях стороны $AB$ за точки $A$ и $B$ отрезки $AU = BC$ и $BV = AC$ соответственно. Так как $AC' = p-BC$, где $p$ – полупериметр треугольника, точка $C'$ будет серединой отрезка $UV$. Проведя через точки $U$, $V$ прямые, параллельные двум биссектрисам, мы получим параллелограмм с диагональю $UV$ и, построив его вторую диагональ, найдем точку $C'$.

Источники и прецеденты использования