Условие
Дан неравнобедренный треугольник $ABC$. Вписанная окружность касается его сторон $AB$, $AC$ и $BC$ в точках $D$, $E$, $F$ соответственно. Вневписанная окружность касается стороны $BC$ в точке $N$. Пусть $T$ – ближайшая к $N$ точка пересечения прямой $AN$ с вписанной окружностью, а
$K$ – точка пересечения прямых $DE$ и $FT$. Докажите, что $AK||BC$.
Решение
Пусть $G$ – точка вписанной окружности, противоположная $F$. Так как вписанная и вневписанная окружности гомотетичны с центром $A$, точки $A$, $G$ и $N$ лежат на одной прямой, а $FT\perp AN$. При полярном преобразовании относительно вписанной окружности прямая $ED$ переходит в $A$, $FT$ – в точку пересечения касательных к окружности в точках $F$ и $T$, т.е. середину $FN$, совпадающую с серединой $BC$, а прямая, проходящая через $A$ и параллельная $BC$, – в точку $L$ пересечения $ED$ и $GF$. Таким образом, достаточно доказать, что $AL$ – медиана треугольника $ABC$.
Поскольку $AE=AD$, то $\frac{\sin\angle CAL}{\sin\angle BAL} = \frac{EL}{DL}$. Применяя теорему синусов к треугольникам $EFL$ и $EDL$, получаем $\frac{EL}{DL} = \frac{EF\sin\angle EFL}{DF\sin\angle DFL}$. Но $\angle EFL=\angle C/2$, $\angle DFL = \angle B/2$, а $\frac{EF}{DF} = \frac{\cos\angle C/2}{\cos\angle B/2}$. Следовательно, $\frac{\sin\angle CAL}{\sin\angle BAL} = \frac{AB}{AC}$, т.е. $AL$ – медиана.
Источники и прецеденты использования
