Задача 66667

Темы:    [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Вписанные четырехугольники ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Автор: Москвитин Н.А.

Около прямоугольника $ABCD$ описана окружность. На меньшей дуге $BC$ окружности взята произвольная точка $E$. К окружности проведена касательная в точке $B$, пересекающая прямую $CE$ в точке $G$. Отрезки $AE$ и $BD$ пересекаются в точке $K$. Докажите, что прямые $GK$ и $AD$ перпендикулярны.

Решение

Так как $\angle DBG=\angle AEC=90^{\circ}$, четырехугольник $BGEK$ – вписанный. Следовательно, $\angle BGK=\angle BEA=\angle DBC$ и $GK\perp BC$, что равносильно утверждению задачи.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2018
класс
Класс	8
задача
Номер	8.2