Задача 66689
|
|
 |
Условие
Даны два треугольника $ABC$ и $A'B'C'$. Прямые $AB$ и $A'B'$ пересекаются в точке $C_1$, а параллельные им прямые, проходящие через $C$ и $C'$, соответственно, в точке $C_2$. Точки $A_1$, $A_2$, $B_1$, $B_2$ определяются аналогично. Докажите, что прямые $A_1A_2$, $B_1B_2$, $C_1C_2$ пересекаются в одной точке.Решение
Сделаем полярное преобразование с некоторым центром $O$. Получим два треугольника (точки переобозначены заново) $A_1B_1C_1$ и $A_2B_2C_2$ с пересекающимися в $O$ чевианами $A_1A'_1$, $B_1B'_1$, $C_1C'_1$ в первом треугольнике и $A_2A'_2$, $B_2B'_2$, $C_2C'_2$ во втором. Пусть $P_a$ – точка пересечения $A_1A_2$ с $A'_1A'_2$, $P_b$ и $P_c$ определены аналогично. Докажем, что $P_a$, $P_b$ и $P_c$ лежат на одной прямой.Сделаем проективное преобразование, переводящее прямую $P_aP_b$ в бесконечно удаленную. Тогда $OA'_1:A'_1A_1=OA'_2:A'_2A_2$, $OB'_1:B'_1B_1=OB'_2:B'_2B_2$. Но (площади ориентированные) $$\frac{OA'_1}{A'_1A_1} + \frac{OB'_1}{B'_1B_1}+\frac{OC'_1}{C'_1C_1} = \frac{S_{OB_1C_1}}{S_{A_1B_1C_1}}+\frac{S_{OC_1A_1}}{S_{A_1B_1C_1}}+\frac{S_{OA_1B_1}}{S_{A_1B_1C_1}}=1,$$ и аналогично для второго треугольника, значит $OC'_1:C'_1C_1=OC'_2:C'_2C_2$, т.е точка $P_c$ – тоже бесконечно удаленная.
