Задача 66718

Темы:    [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Евдокимов М.А.

В параллелограмме $ABCD$ угол $A$ острый. На стороне $AB$ отмечена такая точка $N$, что  $CN = AB$.  Оказалось, что описанная окружность треугольника $CBN$ касается прямой $AD$. Докажите, что она касается её в точке $D$.

Решение

  Пусть она касается её в точке $T$.

  Первый способ. Так как  $BC || AD$,  то  $BT = CT$.  Из равенства вписанных углов $NBT$ и $NCT$ получаем равенство треугольников $ABT$ и $NCT$. Поэтому  $\angle TAB = \angle TNC =\angle TBC = \angle TCB$.  Значит, $ABCT$ – параллелограмм, то есть $T$ совпадает с $D$.

  Второй способ. Понятно, что точка $T$ лежит на луче $AD$. Поскольку  $CN =AB = CD$,  то  $\angle CND = \angle CDN = \angle AND$,  то есть $ND$ – биссектриса угла $ANC$.

  С другой стороны,  $\angle ATN = \angle TCN, \angle TAN = 180^{\circ} - \angle CBN = \angle CTN$,  поэтому и  $\angle ANT = \angle TNC$,  то есть $NT$ – тоже биссектриса угла $ANC$. Так как прямые $NT$ и $ND$ совпадают, то и точки $T$ и $D$ – тоже.

Замечания

1. Решение не зависит от расположения точки $T$.

2. 5 баллов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
номер/год
Дата	2018/19
Номер	40
вариант
Вариант	осенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
задача
Номер	3