Processing math: 100%
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66718
Темы:    [ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Вспомогательные равные треугольники ]
[ Угол между касательной и хордой ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В параллелограмме ABCD угол A острый. На стороне AB отмечена такая точка N, что  CN=AB.  Оказалось, что описанная окружность треугольника CBN касается прямой AD. Докажите, что она касается её в точке D.


Решение

  Пусть она касается её в точке T.

  Первый способ. Так как  BC||AD,  то  BT=CT.  Из равенства вписанных углов NBT и NCT получаем равенство треугольников ABT и NCT. Поэтому  TAB=TNC=TBC=TCB.  Значит, ABCT – параллелограмм, то есть T совпадает с D.

  Второй способ. Понятно, что точка T лежит на луче AD. Поскольку  CN=AB=CD,  то  CND=CDN=AND,  то есть ND – биссектриса угла ANC.

  С другой стороны,  ATN=TCN,TAN=180CBN=CTN,  поэтому и  ANT=TNC,  то есть NT – тоже биссектриса угла ANC. Так как прямые NT и ND совпадают, то и точки T и D – тоже.

Замечания

1. Решение не зависит от расположения точки T.

2. 5 баллов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
номер/год
Дата 2018/19
Номер 40
вариант
Вариант осенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .