ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 66718
УсловиеВ параллелограмме ABCD угол A острый. На стороне AB отмечена такая точка N, что CN=AB. Оказалось, что описанная окружность треугольника CBN касается прямой AD. Докажите, что она касается её в точке D. РешениеПусть она касается её в точке T. Первый способ. Так как BC||AD, то BT=CT. Из равенства вписанных углов NBT и NCT получаем равенство треугольников ABT и NCT. Поэтому ∠TAB=∠TNC=∠TBC=∠TCB. Значит, ABCT – параллелограмм, то есть T совпадает с D. Второй способ. Понятно, что точка T лежит на луче AD. Поскольку CN=AB=CD, то ∠CND=∠CDN=∠AND, то есть ND – биссектриса угла ANC. С другой стороны, ∠ATN=∠TCN,∠TAN=180∘−∠CBN=∠CTN, поэтому и ∠ANT=∠TNC, то есть NT – тоже биссектриса угла ANC. Так как прямые NT и ND совпадают, то и точки T и D – тоже. Замечания1. Решение не зависит от расположения точки T. 2. 5 баллов. Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке