ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 66718
УсловиеВ параллелограмме $ABCD$ угол $A$ – острый. На стороне $AB$ отмечена такая точка $N$, что $CN = AB$. Оказалось, что описанная окружность треугольника $CBN$ касается прямой $AD$. Докажите, что она касается её в точке $D$.РешениеПусть она касается её в точке $T$. Первый способ. Так как $BC || AD$, то $BT = CT$. Из равенства вписанных углов $NBT$ и $NCT$ получаем равенство треугольников $ABT$ и $NCT$. Поэтому $\angle TAB = \angle TNC =\angle TBC = \angle TCB$. Значит, $ABCT$ — параллелограмм, то есть $T$ совпадает с $D$. Второй способ. Понятно, что точка $T$ лежит на луче $AD$. Поскольку $CN =AB = CD$, то $\angle CND = \angle CDN = \angle AND$, то есть $ND$ — биссектриса угла $ANC$.
С другой стороны, $\angle ATN = \angle TCN, \angle TAN = 180^{\circ} - \angle CBN = \angle CTN$, поэтому и $\angle ANT = \angle TNC$, то есть $NT$ — тоже биссектриса угла $ANC$. Так как прямые $NT$ и $ND$ совпадают, то и точки $T$ и $D$ — тоже. Замечание. Решение не зависит от расположения точки $T$. Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |