|
|
 |
Условие
В параллелограмме $ABCD$ угол $A$ острый. На стороне $AB$ отмечена такая точка $N$, что $CN = AB$. Оказалось, что описанная окружность треугольника $CBN$ касается прямой $AD$. Докажите, что она касается её в точке $D$.
Решение
Пусть она касается её в точке $T$.
Первый способ. Так как $BC || AD$, то $BT = CT$. Из равенства вписанных углов $NBT$ и $NCT$ получаем равенство треугольников $ABT$ и $NCT$. Поэтому $\angle TAB = \angle TNC =\angle TBC = \angle TCB$. Значит, $ABCT$ – параллелограмм, то есть $T$ совпадает с $D$.
Второй способ. Понятно, что точка $T$ лежит на луче $AD$. Поскольку $CN =AB = CD$, то $\angle CND = \angle CDN = \angle AND$, то есть $ND$ – биссектриса угла $ANC$.
С другой стороны, $\angle ATN = \angle TCN, \angle TAN = 180^{\circ} - \angle CBN = \angle CTN$, поэтому и $\angle ANT = \angle TNC$, то есть $NT$ – тоже биссектриса угла $ANC$. Так как прямые $NT$ и $ND$ совпадают, то и точки $T$ и $D$ – тоже.
Замечания
1. Решение не зависит от расположения точки $T$.
2. 5 баллов.
