ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66718
Темы:    [ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Вспомогательные равные треугольники ]
[ Угол между касательной и хордой ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В параллелограмме $ABCD$ угол $A$ – острый. На стороне $AB$ отмечена такая точка $N$, что $CN = AB$. Оказалось, что описанная окружность треугольника $CBN$ касается прямой $AD$. Докажите, что она касается её в точке $D$.

Решение

Пусть она касается её в точке $T$.

Первый способ.

Так как $BC || AD$, то $BT = CT$. Из равенства вписанных углов $NBT$ и $NCT$ получаем равенство треугольников $ABT$ и $NCT$. Поэтому $\angle TAB = \angle TNC =\angle TBC = \angle TCB$. Значит, $ABCT$ — параллелограмм, то есть $T$ совпадает с $D$.

Второй способ.

Понятно, что точка $T$ лежит на луче $AD$. Поскольку $CN =AB = CD$, то $\angle CND = \angle CDN = \angle AND$, то есть $ND$ — биссектриса угла $ANC$.

С другой стороны, $\angle ATN = \angle TCN, \angle TAN = 180^{\circ} - \angle CBN = \angle CTN$, поэтому и $\angle ANT = \angle TNC$, то есть $NT$ — тоже биссектриса угла $ANC$. Так как прямые $NT$ и $ND$ совпадают, то и точки $T$ и $D$ — тоже.

Замечание.

Решение не зависит от расположения точки $T$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
номер/год
Дата 2018/19
Номер 40
вариант
Вариант осенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .