ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66740
Темы:    [ Шестиугольники ]
[ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Расстояние от некоторой точки внутри правильного шестиугольника до трёх его последовательных вершин равны 1, 1 и 2 соответственно. Чему равна сторона этого шестиугольника?

Решение

Пусть A, B, C – последовательные вершины шестиугольника, O – точка внутри него, и пусть OA=OB=1, OC=2.

Решение 1.

Рассмотрим другую соседнюю с A вершину F. Тогда FABC – равнобедренная трапеция (см.рисунок).

Точка O лежит на общем серединном перпендикуляре её оснований FC и AB, поэтому OF=OC=2. Но FC=2AB (в правильном шестиугольнике главная диагональ в 2 раза больше стороны), откуда треугольники AOB и FOC подобны с коэффициентом 2. Поскольку AB и FC параллельны и $\angle BAO=\angle OCF$, точка O лежит на диагонали AC (и, аналогично, точка O лежит на диагонали BF). Тогда $\angle OBC=120^{\circ}-30^{\circ}=90^{\circ}$, и $BC=\sqrt{2^2-1^2} = \sqrt{3}$ по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника OBC.

Решение 2.

Точка O лежит на серединном перпендикуляре к стороне AB. Построим вне шестиугольника равносторонний треугольник ABD (см.рисунок).

Ясно, что тогда OD – серединный перпендикуляр к отрезку AB. Кроме того, так как DB:DC=1:2=OB:OC, то OD – биссектриса внешнего угла O треугольника BOC. Значит, она перпендикулярна биссектрисе OE угла BOC. В силу равенства $\angle BAO=\angle ABO=\angle BOE=\angle EOC$, точки A, O, C лежат на одной прямой. В треугольнике ADC, $\angle D=60^{\circ}$, DC=2DA, откуда угол DAC прямой, а $AB=AD=AC \cot \angle D=3\cot 60^{\circ}=\sqrt{3}$.

Ответ

$\sqrt{3}$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
номер/год
Дата 2018/19
Номер 40
вариант
Вариант весенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .