|
|
 |
Условие
Расстояние от некоторой точки внутри правильного шестиугольника до трёх его последовательных вершин равны 1, 1 и 2 соответственно. Чему равна сторона этого шестиугольника?Решение
Пусть A, B, C – последовательные вершины шестиугольника, O – точка внутри него, и пусть OA=OB=1, OC=2.
Решение 1.
Рассмотрим другую соседнюю с A вершину F. Тогда FABC – равнобедренная трапеция (см.рисунок).
Точка O лежит на общем серединном перпендикуляре её оснований FC и AB, поэтому OF=OC=2. Но FC=2AB (в правильном шестиугольнике главная диагональ в 2 раза больше стороны), откуда треугольники AOB и FOC подобны с коэффициентом 2. Поскольку AB и FC параллельны и $\angle BAO=\angle OCF$, точка O лежит на диагонали AC (и, аналогично, точка O лежит на диагонали BF). Тогда $\angle OBC=120^{\circ}-30^{\circ}=90^{\circ}$, и $BC=\sqrt{2^2-1^2} = \sqrt{3}$ по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника OBC.
Решение 2.
Точка O лежит на серединном перпендикуляре к стороне AB. Построим вне шестиугольника равносторонний треугольник ABD (см.рисунок).
Ясно, что тогда OD – серединный перпендикуляр к отрезку AB.
Кроме того, так как DB:DC=1:2=OB:OC, то OD – биссектриса внешнего угла O треугольника BOC.
Значит, она перпендикулярна биссектрисе OE угла BOC.
В силу равенства $\angle BAO=\angle ABO=\angle BOE=\angle EOC$, точки A, O, C лежат на одной прямой.
В треугольнике ADC, $\angle D=60^{\circ}$, DC=2DA, откуда угол DAC прямой, а $AB=AD=AC \cot \angle D=3\cot 60^{\circ}=\sqrt{3}$.
