|
|
 |
Условие
Натуральные числа $a$ и $b$ таковы, что $a^{n+1} + b^{n+1}$ делится на $a^n+b^n$ для бесконечного множества различных натуральных $n$. Обязательно ли тогда $a = b$?
Решение 1
Пусть наибольший общий делитель чисел $a$ и $b$ равен $d, a = ud, b = vd$. По условию $d(u^{n+1} + v^{n+1})$ делится на $u^n + v^n$ для бесконечного множества натуральных $n$. Поскольку $u$ и $v$ взаимно просты, числа $u^{n+1} + v^{n+1}$ и $u^n + v^n$ взаимно просты с $u$ и $v$, а кроме того, могут иметь общим множителем максимум $|v-u|$ (это следует из того, что $u^{n+1} + v^{n+1} - u(u^n + v^n) = v^n(v - u))$.
Но ненулевое число, не превосходящее $d|v - u|$, не может делиться на $u^n + v^n$ для бесконечно многих $n$. Значит, $u = v$, откуда $a = b$.
Решение 2
Пусть, например, $a > b$. Дробь $\dfrac{a^{n+1}+b^{n+1}}{a^n+b^n}$ меньше $a$, но стремится к $a$ при $n\to\infty.$ Значит, $a - 1 < \frac{a^{n+1} + b^{n+1}}{a^n+b^n} < a$ при достаточно больших $n$. Противоречие.
Решение 3
Пусть, например, $a > b$. Тогда $b < \dfrac{a^{n+1}+b^{n+1}}{a^n+b^n} < a$ при всех натуральных $n$. Так как между $b$ и $a$ конечное число целых чисел, найдутся такие различные натуральные $m$ и $k$, что $\dfrac{a^{m+1}+b^{m+1}}{a^m+b^m} =\dfrac{a^{k+1}+b^{k+1}}{a^k+b^k}$. Умножив на знаменатели и приводя подобные, получим $a^mb^k(a - b) = a^kb^m(a - b)$, или $\left(\frac{a}{b}\right)^{m-k} = 1$, откуда $m = k$. Противоречие.
Ответ
Обязательно.
Замечания
4 балла
