|
|
 |
Условие
Натуральные числа $a$ и $b$ таковы, что $a^{n+1}+b^{n+1}$ делится на $a^n+b^n$ для бесконечного множества различных натуральных $n$. Обязательно ли тогда $a=b$?Решение
Решение 1.
Пусть, например, $a < b$. Дробь $\dfrac{a^{n+1}+b^{n+1}}{a^n+b^n}$ меньше $a$ при всех натуральных $n$ (очевидно после умножения на знаменатель), но стремится к $a$ при $n\to\infty$ (в самом деле, поделив числитель и знаменатель на $a^n$ и заметив, что $\left(\frac{b}{a}\right)^n\to\infty$ при $n \to \infty$, получим, что числитель дроби стремится к $a$, а знаменатель – к $1$). Значит, $a-1 < \frac{a^{n+1}+b^{n+1}}{a^n+b^n} < a$ при достаточно больших $n$ и не может быть целым. Противоречие.
Решение 2.
Пусть, например, $a < b$. Тогда $b < \dfrac{a^{n+1}+b^{n+1}}{a^n+b^n} < a$ при всех натуральных $n$ (очевидно после умножения на знаменатель). Так как между $b$ и $a$ конечное число целых чисел, найдутся такие различные натуральные $m$ и $k$, что $\dfrac{a^{m+1}+b^{m+1}}{a^m+b^m} =\dfrac{a^{k+1}+b^{k+1}}{a^k+b^k}$. Умножив на знаменатели и приводя подобные, получим $a^mb^k(a-b)=a^kb^m(a-b)$. Сократив на $a-b$, имеем $\left(\frac{a}{b}\right)^{m-k}=1$, откуда либо $a=b$, либо $m=k$ – противоречие.
Решение 3.
Пусть наибольший общий делитель чисел $a$ и $b$ равен $d$, то есть $a=ud$, $b=vd$, где $u$ и $v$ взаимно просты. Из условия, сократив на $d$, получаем, что $d(u^{n+1}+v^{n+1})$ делится на $u^n+v^n$ для бесконечного множества натуральных $n$. Поскольку $u$ и $v$ взаимно просты, числа $u^{n+1}+v^{n+1}$ и $u^n+v^n$ взаимно просты с $u$ и $v$, а кроме того, могут иметь общим множителем максимум $|v-u|$ (это следует из того, что $u^{n+1}+v^{n+1}-u(u^n+v^n)=v^n(v-u))$.
Но ненулевое число, не превосходящее $d\cdot |v-u|$, не может делиться на $u^n+v^n$ для бесконечно многих $n$.
Значит, $u=v$, откуда $a=b$.
