|
|
 |
Условие
Каждый отрезок с концами в вершинах правильного 100-угольника покрасили – в красный цвет, если между его концами чётное число вершин, и в синий – в противном случае (в частности, все стороны 100-угольника красные). В вершинах расставили числа, сумма квадратов которых равна 1, а на отрезках – произведения чисел в концах. Затем из суммы чисел на красных отрезках вычли сумму чисел на синих. Какое наибольшее число могло получиться?
Решение
Пусть в вершинах по кругу расставлены числа x1,...,x100, k=x1x2+x1x4+...+x99x100 – сумма красных чисел, s=x1x3+x1x5+...+x98x100 – сумма синих. Заметим, что
0 ≤ (x1−x2+x3−x4+...+x99−x100)2=1−2k+2s. Значит, k−s⩽.
Равенство достигается, когда выражение в скобках равно нулю, например, при x_{1} = x_{2} = ... = x_{100} = \frac{1}{10}.
Ответ
½.
Замечания
8 баллов
