Задача 66765

Темы:    [ Перегруппировка площадей ] [ Площадь круга, сектора и сегмента ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Фольклор

Никита нарисовал и закрасил выпуклый пятиугольник с периметром $20$ и площадью $21$. Таня закрасила все точки, находящиеся на расстоянии не более $1$ от закрашенных Никитой (см. рис.). На сколько увеличилась закрашенная площадь? Ответ округлите до сотых.

Решение

Разобьем добавленную Таней площадь на пять прямоугольников ширины $1$, у каждого из которых одна из сторон совпадает со стороной исходного пятиугольника, и на сектора кругов радиуса $1$ с вершинами в вершинах пятиугольника (см. рис).

Добавленная площадь равна сумме площадей прямоугольников и площадей секторов. Сумма площадей прямоугольников равна произведению ширины (равной $1$) на сумму длин сторон пятиугольника: $1\cdot 20$. Сектора же складываются в один полный круг, площадь которого равна $\pi\cdot 1^2$. То есть добавленная площадь составляет $20 + \pi \approx 23{,}14$.

Ответ

$23{,}14$.

Замечания

Объяснить, почему сектора действительно складываются в полный круг, можно следующим образом. У двух соседних секторов два ограничивающих радиуса являются противоположными сторонами прямоугольника. Значит, если «схлопнуть» прямоугольник, сторонами которого они являются, то два соседних сектора объединятся в один сектор. Сделав так с каждой парой, мы получим целый круг.

Приведенное рассуждение справедливо для любого выпуклого многоугольника. Угол сектора равен соответствующему внешнему углу многоугольника, так что по сути мы доказали, что сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна $360^\circ$ (см. по этому поводу также Математические Этюды).

Аналогичная формула для площади «окрестности» верна для произвольных ограниченных выпуклых фигур. Об этой теореме Штейнера можно прочитать в статье Л.В. Локуциевского и В.М. Тихомирова «Выпуклый анализ на плоскости» (журнал «Квант», 2018 г., №№5-6).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир им.Ломоносова
номер/год
Год	2021
задача
Номер	7