Задача 66774

Темы:    [ Вписанные четырехугольники ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Центральная симметрия (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Акопян А.В.

Два четырехугольника $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ симметричны друг другу относительно точки $P$. Известно, что четырехугольники $A_1BCD$, $AB_1CD$ и $ABC_1D$ вписанные. Докажите, что $ABCD_1$ тоже вписанный.

Решение

Из условия следует, что $$\angle(AD_1,D_1B) = \angle(AD_1,AB_1) + \angle(A_1B,D_1B) = \angle(A_1D,A_1B) + \angle(AB_1,B_1D) = \angle(AC,CD) + \angle(CD,BC) = \angle(AC,BC).$$ Значит, точки $A$, $B$, $C$, $D_1$ лежат на одной окружности.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2019
Заочный тур
задача
Номер	6 [8-9 кл]