Processing math: 100%
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66775
Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Бибиков П.

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AHA, BHB, CHC. Пусть X – произвольная точка отрезка CHC, а P – точка пересечения окружностей с диаметрами HCX и BC, отличная от HC. Прямые CP и AHA пересекаются в точке Q, а прямые XP и AB – в точке R. Докажите, что точки A, P, Q, R, HB лежат на одной окружности.

Решение

Так как четырехугольник BCPHC вписанный, то CPHC=180B=180AHHC, где H – ортоцентр треугольника ABC. Поэтому четырехугольник HQPHC вписанный, т.е. CQH=HHCP. Но HHCP=HCRP, поскольку HCP – высота прямоугольного треугольника HCRX. Таким образом, точки A, R, P и Q лежат на одной окружности. Кроме того, из вписанности четырехугольника HCPHBC получаем, что PHBA=PHCC=PRB, следовательно, HB лежит на той же окружности.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2019
Заочный тур
задача
Номер 7 [8-9 кл]

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .