ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 66775
УсловиеВ остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AHA, BHB, CHC. Пусть X – произвольная точка отрезка CHC, а P – точка пересечения окружностей с диаметрами HCX и BC, отличная от HC. Прямые CP и AHA пересекаются в точке Q, а прямые XP и AB – в точке R. Докажите, что точки A, P, Q, R, HB лежат на одной окружности.
РешениеТак как четырехугольник BCPHC вписанный, то ∠CPHC=180∘−∠B=180∘−∠AHHC, где H – ортоцентр треугольника ABC. Поэтому четырехугольник HQPHC вписанный, т.е. ∠CQH=∠HHCP. Но ∠HHCP=∠HCRP, поскольку HCP – высота прямоугольного треугольника HCRX. Таким образом, точки A, R, P и Q лежат на одной окружности. Кроме того, из вписанности четырехугольника HCPHBC получаем, что ∠PHBA=∠PHCC=∠PRB, следовательно, HB лежит на той же окружности. Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке