Задача 66778

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Тригуб А.

В треугольнике $ABC$ $N$ – середина дуги $ABC$ описанной окружности треугольника, $NP$ и $NT$ – касательные к вписанной окружности. Прямые $BP$ и $BT$ пересекают второй раз описанную окружность треугольника в точках $P_1$ и $T_1$ соответственно. Докажите, что $PP_1=TT_1$.

Решение

Пусть $I$ – центр вписанной окружности. Так как $BN$ – внешняя биссектриса угла $B$, то $\angle IBN=90^{\circ}=\angle IPN=\angle ITN$. Значит, точки $B$, $I$, $N$, $T$, $P$ лежат на одной окружности, а поскольку $IT=IP$, то $BI$ – биссектриса угла $PBT$. Поэтому точки $P_1$ и $T_1$ симметричны относительно диаметра описанной окружности, проходящего через $N$, т.е. $NP_1=NT_1$. Кроме того $\angle NPB=\angle NTB$ и $NP=NT$, следовательно, треугольники $NPP_1$ и $NTT_1$ равны, откуда получаем утверждение задачи.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2019
Заочный тур
задача
Номер	10 [8-9 кл]