Задача 66787

Темы:    [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Теорема синусов ] [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Уткин А.

В треугольнике $ABC$ $AL_a$, $BL_b$, $CL_c$ – биссектрисы, $K_a$ – точка пересечения касательных к описанной окружности в вершинах $B$ и $C$; $K_b$, $K_c$ определены аналогично. Докажите, что прямые $K_aL_a$, $K_bL_b$ и $K_cL_c$ пересекаются в одной точке.

Решение

Так как треугольник $ABK_c$ равнобедренный, то, применив теорему синусов к треугольникам $AL_cK_c$ и $BL_aK_c$, получим, что $\sin\angle AK_cL_c:\sin\angle BK_cL_c=AL_c:BL_c$. Из этого и двух аналогичных соотношений, применив теорему Чевы, получаем утверждение задачи.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2019
Заочный тур
задача
Номер	19 [10-11 кл]