В школе (где училось больше 5 учеников) подвели итоги учебного года. Выяснилось, что в каждом множестве из пяти и более учеников не менее 80% двоек, полученных этими учениками в течение года, поставлены не более чем 20% процентам учеников из этого множества. Докажите, что по крайней мере три четверти всех двоек, поставленных в школе, получил один ученик.

   Решение

Темы:    [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Теорема синусов ] [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике $ABC$ $AL_a$, $BL_b$, $CL_c$ – биссектрисы, $K_a$ – точка пересечения касательных к описанной окружности в вершинах $B$ и $C$; $K_b$, $K_c$ определены аналогично. Докажите, что прямые $K_aL_a$, $K_bL_b$ и $K_cL_c$ пересекаются в одной точке.

Решение

Так как треугольник $ABK_c$ равнобедренный, то, применив теорему синусов к треугольникам $AL_cK_c$ и $BL_aK_c$, получим, что $\sin\angle AK_cL_c:\sin\angle BK_cL_c=AL_c:BL_c$. Из этого и двух аналогичных соотношений, применив теорему Чевы, получаем утверждение задачи.

Источники и прецеденты использования