Задача 66789

Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ ГМТ (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Авторы: Сгибнев А.И., Заславский А.А.

Дан эллипс $\Gamma$ и его хорда $AB$. Найдите геометрическое место ортоцентров вписанных в $\Gamma$ треугольников $ABC$.

Решение

Выберем систему координат так, чтобы ось абсцисс совпадала с прямой $AB$. Тогда уравнение эллипса примет вид $(x-x_a)(x-x_B)+y(ax+by+c)=0$, причем $b>0$. Ортоцентр $H$ имеет координаты $(x_C,h)$, где $h$ находится из условия перпендикулярности прямых $AH$ и $BC$: $(x_C-x_A)(x_C-x_B)+hy_C=0$, т.е. $h=-(x_C-x_A)(x_C-x_B)/y_C$. Но по теореме Виета ордината второй точки пересечения прямой $XH$ с эллипсом равна $(x_C-x_A)(x_C-x_B)/by_C$. Таким образом, ГМТ ортоцентров – эллипс, полученный сжатием данного к прямой $AB$ с коэффициентом $-b$. Поскольку этот коэффициент равен отношению квадратов диаметров эллипса, перпендикулярного и параллельного $AB$, полученный эллипс будет подобен данному, а их большие оси перпендикулярны.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2019
Заочный тур
задача
Номер	21 [10-11 кл]