Processing math: 100%
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66801
Темы:    [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]
[ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Внутри прямого угла с вершиной O расположен треугольник OAB с прямым углом A. Высота треугольника OAB, опущенная на гипотенузу, продолжена за точку A до пересечения со стороной угла O в точке M. Расстояния от точек M и B до второй стороны угла O равны 2 и 1 соответственно. Найдите OA.

Решение 1

Пусть AH – высота треугольника. Тогда четырехугольник BHSM – вписанный, следовательно, OHOB=OSOM=2. Но OHOB=OA2 по свойству прямоугольного треугольника.

Решение 2

Пусть S – проекция B на OM. Тогда четырехугольник ABOS – вписанный и, значит, OAS=OBS=90BOM=OMA, т.е. треугольники AOS и MOA подобны. Следовательно, OA2=OSOM=12.


Ответ

2.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2019
класс
Класс 9
задача
Номер 9.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .