Задача 66805

Темы:    [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ] [ Площадь треугольника (через высоту и основание) ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Акопян А.В.

Четырехугольник $ABCD$ описан вокруг окружности радиуса $R$. Пусть $h_1$ и $h_2$ – высоты опущенные из точки $A$ на стороны $BC$ и $CD$ соответственно. Аналогично $h_3$ и $h_4$ – высоты опущенные из точки $C$ на стороны $AB$ и $AD$. Докажите, что $$\frac{h_1+h_2-2R}{h_1h_2}=\frac{h_3+h_4-2R}{h_3h_4}.$$

Решение

Обозначим через $a$ длину касательной к вписанной окружности из точки $A$, аналогично определим $b$, $c$ и $d$. Вычисляя площадь $ABCD$ тремя способами, получаем $$h_1(b+c)+h_2(c+d)=h_3(a+b)+h_4(a+d)=2R(a+b+c+d).$$ Умножим обе части искомого равенства на $a+b+c+d$. Тогда числитель левой части будет равен $h_1(a+d)+h_2(a+b)$, аналогичное выражение получим для правой части. Таким образом, надо доказать равенство $$\frac{a+b}{h_1}+\frac{a+d}{h_2}=\frac{b+c}{h_3}+\frac{c+d}{h_4}.$$ Это равенство очевидно, поскольку, вычисляя двумя способами площадь треугольника $ABC$, мы получаем $h_1(b+c)=h_3(a+b)$ и аналогичное равенство верно для $h_2$ и $h_4$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2019
класс
Класс	9
задача
Номер	9.5