Условие
Четырехугольник $ABCD$ описан вокруг окружности радиуса $R$. Пусть $h_1$ и $h_2$ – высоты опущенные из точки $A$ на стороны $BC$ и $CD$ соответственно. Аналогично $h_3$ и $h_4$ – высоты опущенные из точки $C$ на стороны $AB$ и $AD$. Докажите, что
$$
\frac{h_1+h_2-2R}{h_1h_2}=\frac{h_3+h_4-2R}{h_3h_4}.
$$
Решение
Обозначим через $a$ длину касательной к вписанной окружности из точки $A$, аналогично определим $b$, $c$ и $d$. Вычисляя площадь $ABCD$ тремя способами, получаем
$$h_1(b+c)+h_2(c+d)=h_3(a+b)+h_4(a+d)=2R(a+b+c+d).$$
Умножим обе части искомого равенства на $a+b+c+d$. Тогда числитель левой части будет равен $h_1(a+d)+h_2(a+b)$, аналогичное выражение получим для правой части. Таким образом, надо доказать равенство
$$\frac{a+b}{h_1}+\frac{a+d}{h_2}=\frac{b+c}{h_3}+\frac{c+d}{h_4}.$$
Это равенство очевидно, поскольку, вычисляя двумя способами площадь треугольника $ABC$, мы получаем $h_1(b+c)=h_3(a+b)$ и аналогичное равенство верно для $h_2$ и $h_4$.
Источники и прецеденты использования
