ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66806
Тема:    [ Многоугольники (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Saghafian M.

Любые три последовательные вершины невыпуклого многоугольника образуют прямоугольный треугольник. Обязательно ли у многоугольника найдется угол, равный $90$ или $270$ градусам?

Решение 1

Возьмем прямоугольник со сторонами $2$ и $\sqrt{3}$ и построим на каждой из его сторон во внешнюю сторону трапецию с отношением сторон $1:1:1:2$, меньшее основание которой совпадает со стороной прямоугольника. Любые три последовательные вершины полученного невыпуклого двенадцатиугольника образуют треугольник с углами $30^{\circ}$, $60^{\circ}$ и $90^{\circ}$, а углы двенадцатиугольника равны $60^{\circ}$ или $330^{\circ}$.

Решение 2

Автор: Белухов Н.

Пусть $A=(0,1)$, $B=(1,0)$, $C=(1,1)$, $D=(2,0)$, $E=(2,1)$, $F=(3, 0)$, а $G$ – точка пересечения $BE$ с прямой, проходящей через $F$ и перпендикулярной $AF$. Тогда семиугольник $ABCDEFG$ – искомый.


Ответ

Нет.

Замечания

Жюри неизвестны примеры многоугольников, удовлетворяющих условию, с числом вершин, меньшим $7$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2019
класс
Класс 9
задача
Номер 9.6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .