Задача 66811

Темы:    [ Точка Микеля ] [ Поворотная гомотетия (прочее) ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Изогональное сопряжение ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Bhattacharya A.

Пусть точки $P$ и $Q$ изогонально сопряжены относительно треугольника $ABC$. Точка $A_1$, лежащая на дуге $BC$ описанной около треугольника окружности $\omega$, удовлетворяет условию $\angle BA_1P=\angle CA_1Q$. Точки $B_1$ и $C_1$ определены аналогично. Докажите, что прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной точке.

Решение

Пусть $A'_1$ – точка Микеля прямых $BP$, $BQ$, $CP$ и $CQ$. Тогда $\angle BA'_1C=(\pi-\angle BPC)+(\pi-\angle BQC)=\pi-\angle A$, следовательно, $A'_1$ лежит на $\omega$.

Кроме того, $A_1'$ – центр поворотной гомотетии, переводящей $B$ в $P$, а $Q$ в $C$ (а также центр поворотной гомотетии, переводящей $B$ в $Q$ и $P$ в $C$). Поэтому $\angle BA'_1P=\angle CA'_1Q$. Значит $A'_1$ совпадает с $A_1$ (условие $\angle BA_1P=\angle CA_1Q$ однозначно определяет точку $A_1$, поскольку при ее движении по дуге $BC$ один из углов возрастает, а другой убывает). Тогда, поскольку треугольник $A_1BP$ подобен треугольнику $A_1QC$, а треугольник $A_1BQ$ – треугольнику $A_1PC$, мы получаем, что $$\frac{BA_1}{A_1C} = \frac{BA_1}{A_1P} \cdot \frac{PA_1}{A_1C}= \frac{BQ}{PC} \cdot \frac{BP}{QC}= \frac{BP\cdot BQ}{CP\cdot CQ}.$$ Найдя аналогично отношения $CB_1:B_1A$ и $AC_1:C_1B$, получим, что произведение трех найденных отношений равно единице. По теореме Чевы получаем, что главные диагонали вписанного шестиугольника $AC_1BA_1CB_1$ пересекаются в одной точке.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2019
класс
Класс	10
задача
Номер	10.3