Задача 66825

Темы:    [ Логика и теория множеств (прочее) ] [ Четность и нечетность ] [ Углы между биссектрисами ] [ Невыпуклые многоугольники ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Скопенков М.Б.

Дан многоугольник, у которого каждые две соседние стороны перпендикулярны. Назовём две его вершины не дружными, если биссектрисы многоугольника, выходящие из этих вершин, перпендикулярны. Докажите, что для любой вершины количество не дружных с ней вершин чётно.

Решение 1

  Расположим многоугольник так, чтобы его стороны были горизонтальны и вертикальны. Пусть вертикальных сторон $k$, тогда горизонтальных сторон тоже $k$. Все вершины многоугольника делятся на 4 типа:  ┌ ,  ┐, └ ,  ┘.
  Пусть вершина $A$ имеет тип 2 (без ограничения общности). Тогда не дружные с ней – вершины типа 1 и 4. Рассмотрим любую горизонтальную сторону. Её левый конец может быть только типа 1 или 3. Всего левых вершин у горизонтальных сторон столько же, сколько левых сторон, то есть $k$, откуда суммарное число вершин типа 1 и 3 равно $k$. Пусть вершин типа 1 всего $x$, тогда вершин типа 3 всего  $k - x$. Рассматривая нижние концы вертикальных сторон, получаем аналогично, что вершин типа 3 и 4 всего $k$, откуда вершин типа 4 всего  $k - (k - x)$, то есть $x$. Но тогда вершин типа 1 и 4 всего 2$x$ (чётное число), а это и есть вершины, которые не дружны с $A$.

Решение 2

  Расположим многоугольник так, чтобы биссектриса $l$ данной вершины $A$ была горизонтальна. Пусть некая точка движется по периметру многоугольника с постоянной скоростью, начав и закончив в вершине $A$. Тогда её проекция на $l$ также движется с постоянной скоростью, причём проекция меняет направление движения ровно в те моменты, когда точка проходит через вершину, дружную с $A$, или через саму $A$.

Решение 3

  Расположим многоугольник так, чтобы его стороны были горизонтальны и вертикальны. Поскольку они чередуются, число вершин чётно (пусть их 2$n$). При этом угловой коэффициент биссектрисы равен 1 или $-1$.
  Занумеруем вершины против часовой стрелки числами от 1 до 2$n$ и поставим в $i$-й вершине число $a_i$, равное 1, если угол в ней равен 90°, и $-1$, если угол в ней равен 270°. Обходя многоугольник по контуру против часовой стрелки, в каждом угле в 90° мы поворачиваем на 90° против часовой стрелки, а в каждом угле в 270° – на 90° по часовой. Вернувшись в исходное положение после полного обхода, мы повернулись в итоге на 360° против часовой стрелки, значит, количество углов в 270° на 4 меньше, чем в 90°, то есть равно  $n - 2$,  поэтому $a_{1} a_{2}... a_{2n} = (-1)^{n-2}$.
  Заметим, что направления биссектрис в соседних вершинах совпадают тогда и только тогда, когда углы в них разные. Можно считать, что угловой коэффициент биссектрисы в первой вершине равен $a_{1}$. Тогда для каждого $i$ знак $b_i$ углового коэффициента биссектрисы в $i$-й вершине совпадает с $a_i$, если $i$ нечётно, и с $-a_i$, если $i$ чётно. Поэтому  $b_{1} b_{2}... b_{2n} = a_{1} a_{2}... a_{2n}(-1)^n = (-1)^{2n-2}=1$.  Следовательно, число "отрицательных" (а потому и "положительных") биссектрис чётно.

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
номер/год
Номер	41
Год	2019/20
вариант
Вариант	осенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
задача
Номер	4