|
|
 |
Условие
Дан многоугольник, у которого каждые две соседние стороны перпендикулярны. Назовём две его вершины не дружными, если биссектрисы многоугольника, выходящие из этих вершин, перпендикулярны. Докажите, что для любой вершины количество не дружных с ней вершин чётно.Решение
Решение 1.
Расположим многоугольник так, чтобы его стороны были горизонтальны и вертикальны. Пусть вертикальных сторон k, тогда горизонтальных сторон тоже k. Все вершины многоугольника делятся на 4 типа: ┌ , ┐,└ , ┘. Пусть вершина A имеет тип 2 (без ограничения общности). Тогда не дружные с ней – вершины типа 1 и 4. Рассмотрим любую горизонтальную сторону. Её левый конец может быть только типа 1 или 3. Всего левых вершин у горизонтальных сторон столько же, сколько левых сторон, то есть k, откуда суммарное число вершин типа 1 и 3 равно k. Пусть вершин типа 1 всего x, тогда вершин типа 3 всего k-x. Рассматривая нижние концы вертикальных сторон, получаем аналогично, что вершин типа 3 и 4 всего k, откуда вершин типа 4 всего k-(k-x), то есть x. Но тогда вершин типа 1 и 4 всего 2x (чётное число), а это и есть вершины, которые не дружны с A.
Решение 2.
Расположим многоугольник так, чтобы биссектриса l данной вершины A была горизонтальна.
Пусть некая точка движется по периметру многоугольника с постоянной скоростью, начав и закончив в вершине A. Тогда её проекция на l также движется с постоянной скоростью, причём проекция меняет направление движения ровно в те моменты, когда точка проходит через вершину, дружную с A, или через саму A. Учитывая, что всего вершин чётное число, получаем требуемое.
Решение 3.
Расположим многоугольник так, чтобы его стороны были горизонтальны и вертикальны. Поскольку они чередуются, число вершин чётно (пусть их 2n). При этом угловой коэффициент биссектрисы равен 1 или -1.
Занумеруем вершины против часовой стрелки числами от 1 до 2n и поставим в i-й вершине число $a_i$, равное 1, если угол в ней равен $90^{\circ}$, и -1, если угол в ней равен $270^{\circ}$. Обходя многоугольник по контуру против часовой стрелки, в каждом угле в $90^{\circ}$ мы поворачиваем на $90^{\circ}$ против часовой стрелки, а в каждом угле в $270^{\circ}$ – на $90^{\circ}$ по часовой. Вернувшись в исходное положение после полного обхода, мы повернулись в итоге на $360^{\circ}$ против часовой стрелки, откуда количество углов в $270^{\circ}$ на 4 меньше, чем в $90^{\circ}$, то есть равно (2n-4)/2=n-2, поэтому $a_{1} a_{2}... a_{2n}=(-1)^{n-2}$.
Заметим, что направления биссектрис в соседних вершинах совпадают тогда и только тогда, когда углы в них разные. Можно считать, что угловой коэффициент биссектрисы в первой вершине равен $a_{1}$. Тогда для каждого i знак $b_i$ углового коэффициента биссектрисы в i-й вершине совпадает с $a_i$, если i нечётно, и совпадает с $-a_i$, если i чётно. Поэтому $b_{1} b_{2}... b_{2n}= a_{1} a_{2}... a_{2n}(-1)^n=(-1)^{2n-2}=1$. Следовательно, число «отрицательных» (а потому и «положительных») биссектрис чётно.
