ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66828
Темы:    [ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Два остроугольных треугольника $ABC$ и $A_{1}B_{1}C_{1}$ таковы, что точки $B_{1}$ и $C_{1}$ лежат на стороне $BC$, а точка $A_{1}$ – внутри треугольника ABC. Пусть $S$ и $S_{1}$ – соответственно площади этих треугольников. Докажите, что  $\frac{S}{AB+AC} > \frac{S_1}{A_1B_1 + A_1C_1}$.


Решение

Пусть точки $D$ и $D_{1}$ симметричны точкам $A$ и $A_{1}$ относительно $BC$. Проведём биссектрисы $AK$ и $A_{1} K_{1}$ наших треугольников. Заметим, что $K$ и $K_{1}$ – центры окружностей, вписанных в четырёхугольники $ABDC$ и $A_{1}B_{1}D_{1}C_{1}$, а требуемое неравенство превратилось в очевидное неравенство  $r > r_{1}$,  где $r$ и $r_{1}$ – радиусы указанных окружностей.

Замечания

7 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
номер/год
Номер 41
Год 2019/20
вариант
Вариант осенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .