ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      



Задача 66827  (#1)

Темы:   [ Теория чисел. Делимость (прочее) ]
[ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Назовём сложностью целого числа  $n$ > 1  количество сомножителей в его разложении на простые. Для каких $n$ все числа между $n$ и 2$n$ имеют сложность
  а) не больше, чем у $n$;
  б) меньше, чем у $n$?

Прислать комментарий     Решение

Задача 66828  (#2)

Темы:   [ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Два остроугольных треугольника $ABC$ и $A_{1}B_{1}C_{1}$ таковы, что точки $B_{1}$ и $C_{1}$ лежат на стороне $BC$, а точка $A_{1}$ – внутри треугольника ABC. Пусть $S$ и $S_{1}$ – соответственно площади этих треугольников. Докажите, что  $\frac{S}{AB+AC} > \frac{S_1}{A_1B_1 + A_1C_1}$.

Прислать комментарий     Решение

Задача 66829  (#3)

Темы:   [ Индукция (прочее) ]
[ Взвешивания ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Есть 100 внешне неразличимых монет трёх типов: золотые, серебряные и медные (каждый тип встречается хотя бы раз). Известно, что золотые весят по 3 г, серебряные – по 2 г, медные – по 1 г.
Как на чашечных весах без гирек определить тип у всех монет не более чем за 101 взвешивание?

Прислать комментарий     Решение

Задача 66830  (#4)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
Сложность: 4-
Классы: 8,10,11

Автор: Соколов А.

Из центра $O$ описанной окружности Ω треугольника $ABC$ опустили перпендикуляры $OP$ и $OQ$ на биссектрисы внутреннего и внешнего углов при вершине $B$.
Докажите, что прямая $PQ$ делит пополам отрезок, соединяющий середины сторон $CB$ и $AB$.

Прислать комментарий     Решение

Задача 66831  (#5)

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Тождественные преобразования ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Назовём пару  ($m, n$)  различных натуральных чисел $m$ и n хорошей, если $mn$ и  $(m + 1)(n + 1)$  – точные квадраты. Докажите, что для каждого натурального $m$ существует хотя бы одно такое  $n > m$,  что пара  ($m, n$)  хорошая.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .