Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Турнир городов
>>
41 турнир (2019/2020 год)
>>
осенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
Фильтр
Задачи
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]
Назовём сложностью целого числа n > 1 количество сомножителей в его разложении на простые.
Для каких n все числа между n и 2n имеют сложность
а) не больше, чем у n;
б) меньше, чем у n?
Два остроугольных треугольника ABC и $A_{1} B_{1} C_{1}$ таковы, что точки $B_{1}$ и $C_{1}$ лежат на стороне BC, а точка $A_{1}$ – внутри треугольника ABC.
Пусть S и $S_{1}$ – соответственно площади этих треугольников.
Докажите, что $\frac{S}{AB+AC} > \frac{S_1}{A_1B_1 + A_1C_1}$.
Есть 100 внешне неразличимых монет трёх типов: золотые, серебряные и медные (каждый тип встречается хотя бы раз).
Известно, что золотые весят по 3 г, серебряные – по 2 г, медные – по 1 г.
Как на чашечных весах без гирек определить тип у всех монет не более чем за 101 взвешивание?
Из центра O описанной окружности треугольника ABC опустили перпендикуляры OP и OQ на биссектрисы внутреннего и внешнего углов при вершине B.
Докажите, что прямая PQ делит пополам отрезок, соединяющий середины сторон CB и AB.
Назовём пару (m, n) различных натуральных чисел m и n хорошей, если mn и (m+1)(n+1) – точные квадраты.
Докажите, что для каждого натурального m существует хотя бы одно такое n>m, что пара (m, n) хорошая.
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]
Задача 66827 (#1) |
|
|
а) не больше, чем у n;
б) меньше, чем у n?
|
|
Решение |
Задача 66828 (#2) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 66829 (#3) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 66830 (#4) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 66831 (#5) |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]
