ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      



Задача 66827  (#1)

Темы:   [ Теория чисел. Делимость (прочее) ]
[ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Назовём сложностью целого числа n > 1 количество сомножителей в его разложении на простые. Для каких n все числа между n и 2n имеют сложность
а) не больше, чем у n;
б) меньше, чем у n?
Прислать комментарий     Решение


Задача 66828  (#2)

Темы:   [ Описанные четырехугольники ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Два остроугольных треугольника ABC и $A_{1} B_{1} C_{1}$ таковы, что точки $B_{1}$ и $C_{1}$ лежат на стороне BC, а точка $A_{1}$ – внутри треугольника ABC. Пусть S и $S_{1}$ – соответственно площади этих треугольников. Докажите, что $\frac{S}{AB+AC} > \frac{S_1}{A_1B_1 + A_1C_1}$.
Прислать комментарий     Решение


Задача 66829  (#3)

Темы:   [ Индукция (прочее) ]
[ Взвешивания ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Есть 100 внешне неразличимых монет трёх типов: золотые, серебряные и медные (каждый тип встречается хотя бы раз). Известно, что золотые весят по 3 г, серебряные – по 2 г, медные – по 1 г. Как на чашечных весах без гирек определить тип у всех монет не более чем за 101 взвешивание?
Прислать комментарий     Решение


Задача 66830  (#4)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
Сложность: 5
Классы: 8,10,11

Автор: Соколов А.

Из центра O описанной окружности треугольника ABC опустили перпендикуляры OP и OQ на биссектрисы внутреннего и внешнего углов при вершине B. Докажите, что прямая PQ делит пополам отрезок, соединяющий середины сторон CB и AB.
Прислать комментарий     Решение


Задача 66831  (#5)

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Тождественные преобразования ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Назовём пару (m, n) различных натуральных чисел m и n хорошей, если mn и (m+1)(n+1) – точные квадраты. Докажите, что для каждого натурального m существует хотя бы одно такое n>m, что пара (m, n) хорошая.
Прислать комментарий     Решение


Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .