ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66842
Тема:    [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Какое наибольшее количество различных целых чисел можно выписать в ряд так, чтобы сумма каждых 11 подряд идущих чисел равнялась 100 или 101?

Решение

Оценка. Предположим, что получилось выписать такие различные числа $x_{1}, ..., x_{23}$, что сумма каждых 11 подряд идущих равна A или B. Пусть $S_k=x_k+...+x_{k+10}$. Заметим, что $S_k\ne S_{k+1}$ (иначе $x_k=x_{k+11}$). Значит, $S_k=S_{k+2}$. Поскольку $x_{1}+S_{2}+S_{13}=S_{1}+S_{12}+x_{23}$, то $x_{1}=x_{23}$. Противоречие.

Пример. Выберем 10 натуральных чисел с шагом 3, а одиннадцатое – дополняющее их сумму до 100. Тогда ряд $x_{1}, ..., x_{11}, x_{1}+1, x_{2}-1, x_{3}+1, x_{4}-1, ..., x_{11}+1$ будет искомым. Например, так: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, -35, 1, 2, 7, 8, 13, 14, 19, 20, 25, 26,-34.

Ответ

22 числа.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
номер/год
Номер 41
Год 2019/20
вариант
Вариант весенний тур, базовый вариант, 8-9 класс
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .