ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66846
Тема:    [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Можно ли в каждую клетку таблицы $40\times 41$ записать по целому числу так, чтобы число в каждой клетке равнялось количеству тех соседних с ней по стороне клеток, в которых написано такое же число?

Решение

Пример 1. Сделаем это для произвольной таблицы. Разобьём её сеткой на прямоугольники так, что ширина полос по каждому направлению чередуется: 1, 2, 1, 2.... Ясно, что это возможно. Тогда таблица разобьётся на квадраты $2\times2$, домино $1\times 2$ и квадратики $1\times 1$. В квадраты впишем двойки, в домино – единицы, в квадратики – нули. Условие будет выполнено, поскольку фигурки одного вида не имеют общих сторон.

Пример 2. Разобьём таблицу на чередующиеся прямоугольники $1\times 41$ и $3\times 41$. В больших окантовку заполним двойками. Оставшиеся полоски $1\times n$ разобьём на чередующиеся доминошки (с единицами) и квадратики (с нулями).

Замечание. Есть и другие примеры, но все они состоят из 0, 1 и 2.

Ответ

можно.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
номер/год
Номер 41
Год 2019/20
неизвестно
Вариант весенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .